實變函式法

實變函式法是研究一般實變函式的數學方法。實變函式論是19世紀末20世紀初形成的一個數學分支。勒貝格(H.L.Lebesgue)的測度、可測集、可測函式和積分的理論構成了實變函式論的最主要的內容。實變函式指變數取實數值的函式。在微積分學中，主要是從連續性、可微性和黎曼可積性三個方面來討論函式。如果說微積分討論的函式都是性質“良好”的函式(例如，往往假設函式連續或只有有限個間斷點)，那么，實變函式論是從連續性、可微性、勒貝格可積性三個方面討論最一般的函式，包括從微積分學來看性質不好的函式。

例如著名的狄利克雷函式D(x)(當x為區間[0，1]上的無理數時，D(x)取值為0;當x是區間[0，1]上的有理數時，D(x)取值為1)，在[0，1]上每一點處都不連續。按黎曼積分，D(x)在[0，1]上不可積，而按勒貝勒積分，D(x)在[0，1]上可積。勒貝格積分既保持了黎曼積分的幾何直觀和計算的有效，又改善了積分與極限交換順序的條件，因此勒貝格積分成為理論上和套用上的更為普遍適用和更為有效的工具。實變函式論已經成為分析數學各分支的基礎。它不僅套用廣泛，是某些數學分支的基本工具，而且它的觀念和方法以及它在各個數學分支的套用，對形成近似數學的一般拓撲學和泛函分析兩個重要分支有著極為重要的影響。