概念簡介
多數票規則中存在一個明顯的投票悖論。這一悖論由法國著名社會學家孔多塞在18世紀80年代發現，所以又稱孔多塞悖論。
投票悖論是公共選擇理論中的概念，又稱為循環的大多數，是指在集體投票時容易出現投票結果隨投票次序的不同變化，大部分甚至全部備選方案在比較過程中都有機會輪流當選的循環現象。
悖論起源
歷史
孔多塞發現這一悖論是在十八世紀。200多年來，西方國家對於民主政治的研究極其深入，關於投票問題已經形成系統和成熟的理論體系，孔多塞、阿羅、阿馬蒂亞·森等都曾在這一領域做出過傑出貢獻。這些研究推動了西方民主的不斷發展。
孔多塞悖論
十八世紀法國思想家孔多賽就提出了著名的“投票悖論”，也稱做是“孔多塞悖論”：假設甲乙丙三人，面對ABC三個備選方案，有如下圖的偏好排序：
甲A>B>C
乙B>C>A
丙C>A>B
由於甲乙都認為B好於C，根據少數服從多數原則，社會也應認為B好於C；同樣乙丙都認為C好於A，社會也應認為C好於A。所以社會認為B好於A。但是，甲丙都認為A好於B，所以出現矛盾。投票悖論反映了直觀上良好的民主機制潛在的不協調。
在得多數票獲勝的規則下，每個人均按照他的偏好來投票。大多數人是偏好x勝於y，同樣大多數人也是偏好y勝於z。按照邏輯上的一致性，這種偏好應當是可以傳遞的(transivity)，即大多數人偏好x勝於z。但實際上，大多數人偏好z勝於x。因此，以投票的多數規則來確定社會或集體的選擇會產生循環的結果，這就好像一隻狗在追自己的尾巴，會沒完沒了地循環下去。結果，在這些選擇方案中，沒有一個能夠獲得多數票而通過，這被稱作“投票悖論”(thevotingparadox)，它對所有的公共選擇問題都是一種固有的難題，所有的公共選擇規則都難以避開這種兩難境地。
悖論發展
1972年諾貝爾經濟學獎的獲得者肯尼思·阿羅，在他的《社會選擇與個人價值》（1951）中，證明了著名的阿羅不可能性定理，把這個投票悖論形式化了。在該書中，他運用數學工具把孔多塞的觀念嚴格化和一般化了。 那么，能不能設計出一個消除循環投票，做出合理決策的投票方案呢？
阿羅的結論
投票悖論根本不存在一種能保證效率、尊重個人偏好、並且不依賴程式 (agenda)的多數規則的投票方案。
阿羅證明
不存在同時滿足如下四個基本公理的社會選擇函式：
1）個人偏好的無限制性，即對一個社會可能存在的所有狀態，邏輯 上可能的個人偏好都不應當先驗地被排除；
2）弱帕累托原則，
3）非相關目標獨立性，即關於一對社會目標的社會偏好序不受其它目標偏好序變化的影響；
4）社會偏好的非獨裁性。
簡單地說，阿羅的不可能定理意味著，在通常情況下，當社會所有成員的偏好為已知時，不可能通過一定的方法從個人偏好次序得出社會偏好次序，不可能通過一定的程式準確地表達社會全體成員的個人偏好或者達到合意的公共決策。投票悖論表明：根本不存在一種能滿足阿羅五個假設條件的社會選擇原理。解決投票悖論的方法是限制投票偏好，即將多峰偏好改為單峰偏好。
解決方法
1998年諾貝爾經濟學獎獲得者阿馬蒂亞·森在20世紀70年代提出對“投票悖論”的解決方法。阿馬蒂亞·森所提出的解決投票悖論、繞過“阿羅不可能定理”的方法就是改變甲、乙、丙其中一個人的偏好次序，以解決投票悖論的問題。
舉例說明
投票悖論比如將甲的偏好次序從（A>B>C）改變為（A>C>B），新的偏好次序排列如下：
甲A>C>B
乙B>C>A
丙C>A>B
於是得到三個社會偏好次序——（A>B）（C>B）（C>A），這樣就能避開投票悖論，當然它卻改變了甲的偏好次序。
選擇模式
阿馬蒂亞·森把這個發現加以延伸和拓展，得出了解決投票悖論的三種選擇模式：
一、所有人都同意其中一項選擇方案並非是最佳；
二、所有人都同意其中一項選擇方案並非是次佳；
三、所有人都同意其中一項選擇方案並非是最差。
阿馬蒂亞·森表示在上述三種選擇模式下，投票悖論不會再出現，取而代之的結果是得大多數票者獲勝的規則總是能達到唯一的決定。但是有一個問題是為了追求一致性，改變、忽略、犧牲了個人偏好次序。
悖論套用
現狀
在中國，民主發展的進程正在加速，關於民主的學術研究成果也可謂豐碩，但是對於投票問題的研究還比較薄弱。在投票的實踐中也存在簡單化的傾向，或者採取單一的簡單多數原則，或者人為規定領導和普通幹部職工的權重等，隨意性比較大。目前，在各個國家或不同領域的民主投票中，人們探索和採取了多種不同的程式模式，比如絕對多數程式、相對多數程式、正向淘汰程式、反向淘汰程式、兩輪決勝程式、平均分淘汰程式等等。這些程式和模式哪一種更適合人們中國國情，哪一種更有利於黨政幹部的選拔任用？這些都需要人們認真研究。當前，各級黨委和組織部門，黨建理論專家和學者應該在投票問題上投入更多的精力，在學習借鑑西方投票理論的同時，緊密聯繫中國實際，注意研究中國政治體制和社會生態條件下的選民心理、投票規則，尤其要注意運用實證研究和數理分析的方法，使人們的政策措施更加科學合理。可以說，要真正深化幹部制度改革，投票問題是不能繞過的坎。
現實問題
投票悖論投票悖論可以留待理論家慢慢研究解決，而實踐中存在的一些悖論卻需要人們儘快加以克服。比如，所謂民主，從字面上理解，就是“人民做主”，但這裡的“做主”必須是“做自己的主”，通過投票等形式，選出可以代表自己利益的人表達自己的意願或代行決策和管理。選出的人或方案與自己的切身利益密切相關，這就決定了選民會保持理智和負責任的態度。然而目前的幹部推薦，很多情況下推薦的是與自己毫無關係的職位和人選，在一個縣裡興師動眾推薦出的幹部，可能要到另外一個縣任職；某一個處缺少了一名副職，要由與這個處並不相關的其他處室人員通過選票定奪。這種“替別人做主”的民主不僅與民主的基本要義相悖，而且在實踐中也已經顯露出明顯的弊端。再比如，在一個領導班子內部，副職是正職的助手，要向正職負責。然而，按照現行的幹部管理規範，一個領導班子的正職並沒有任用班子副職的權力，整個班子都經由不同範圍的民主推薦和考察，由上級任命。既然副職的提拔使用與正職無關，那么在工作上，副職就缺乏向正職負責的動力和制約，這就給班子內部的團結製造了隱患。同時，也可以發現這裡面存在一個明顯的悖論，即上級部門任命一個幹部作為正職，前提是相信他能夠勝任所從事的事業；然而在用人問題上，上級部門卻不能給予他充分的信任，必須替他安排好自己的左膀右臂。
總之，關於民主和投票，只能說剛剛起步。有專家研究指出，當前在幹部制度改革上，既存在民主不足，也存在民主過度的問題，或許，這才是投票悖論的真正癥結。
