定義
子基
子基
子基
子基
子基 子基
子基 子基
子基 子基 子基 子基設 是拓撲空間， ，若 中元素的一切有限交之族，即 ={ 是 中有限個元素的交}是集合X上的拓撲 的基，則稱 是拓撲 的 子基， 中的元素稱為 子基開集。
相關概念
子基
子基 子基
子基
子基
子基
子基 子基 子基 子基 子基設 是拓撲空間， ,若 的元素都可表示為 中某些元素的並，即對於 ，存在 使得 ，則稱 是拓撲 的 基或 拓撲基，也稱為拓撲空間 的 基或 拓撲基， 中的元素稱為 基開集。
子基 子基例1 設 是任意拓撲空間，則 就是它的基。
例2 設X是非空集，記
子基 子基則 是集合X上的離散拓撲的基。
相關定理
定理1
子基 子基 子基 子基 子基
子基
子基
子基設 是拓撲空間， ,則 是拓撲 的基的充分必要條件是對於任意 ，任意 ，存在 ，使得 。
子基 子基 子基證明： 必要性：對於 ，因為 是 的基，從而
子基
子基 子基
子基其中 ，所以對於任意 ，存在 ，使得
子基 子基
子基
子基
子基 子基 子基 子基充分性：任取 ，若 ，則取 ，從而 ，若 ，則對於任意 ，存在 使得
子基
子基
子基 子基 子基 子基 子基於是 ，記 ，因此 ，又 ，所以 是 的基。
定理2
子基 子基 子基設 是非空集X的一個子集族，則 是集合X 上的某一拓撲的基的充分必要條件是 滿足下列條件
子基(1) ；
子基 子基(2)對於任意 是 中某些元素的並。
子基 子基 子基若 滿足上述兩個條件，則集合X上以 為基的拓撲是唯一的，此拓撲稱為 以 為基生成的集合X上的拓撲。
定理3
子基
子基 子基 子基設X為非空集， ，並且 ，則集合X上存在唯一拓撲以 為子基，這個拓撲稱為以 為子基生成的集合X上的拓撲 。
證明 記
子基 子基 子基={B B是 中有限個元素的交}.
子基
子基 子基 子基 子基 子基 子基 子基 子基 子基 子基 子基 子基 子基 子基 子基 子基因為 ，從而 ，又對於 中任意兩個元素的交是 中元素的有限交，可見 的任意兩個元素的交屬於 ，於是這個交是 中元素的並。因此，從定理2中條件的充分性可知，集合X上有拓撲 以 為它的基，所以 是此拓撲 的子基，若 *是以 為子基的集合X上的另一拓撲，則根據子基定義， *是以為基，所以，由定理2可知 *=。
子基 子基例3 設 ，則以 為子基生成的集合X上的拓撲是
子基