基本內容
壓縮感知（Compressed sensing），也被稱為壓縮採樣(Compressive sampling)，稀疏採樣(Sparse sampling)
，壓縮感測。它作為一個新的採樣理論，它通過開發信號的稀疏特性，在遠小於Nyquist 採樣率的條件下，用隨機採樣獲取信號的離散樣本，然後通過非線性重建算法完美的重建信號
。壓縮感知理論一經提出，就引起學術界和工業界的廣泛關注。他在資訊理論、圖像處理、地球科學、光學/微波成像、模式識別、無線通信、大氣、地質等領域受到高度關注，
並被美國科技評論評為2007年度十大科技進展。
基本知識
現代信號處理的一個關鍵基礎是 Shannon 採樣理論：一個信號可以無失真重建所要求的離散樣本數由其頻寬決定。但是Shannon 採樣定理是一個信號重建的充分非必要條件。在過去的幾年內，壓縮感知作為一個新的採樣理論，它可以在遠小於Nyquist 採樣率的條件下獲取信號的離散樣本，保證信號的無失真重建。壓縮感知理論一經提出，就引起學術界和工業的界的廣泛關注。
壓縮感知理論的核心思想主要包括兩點。第一個是信號的稀疏結構。傳統的Shannon 信號表示方法只開發利用了最少的被採樣信號的先驗信息，即信號的頻寬。但是，現實生活中很多廣受關注的信號本身具有一些結構特點。相對於頻寬信息的自由度，這些結構特點是由信號的更小的一部分自由度所決定。換句話說，在很少的信息損失情況下，這種信號可以用很少的數字編碼表示。所以，在這種意義上，這種信號是稀疏信號（或者近似稀疏信號、可壓縮信號）。另外一點是不相關特性。稀疏信號的有用信息的獲取可以通過一個非自適應的採樣方法將信號壓縮成較小的樣本數據來完成。理論證明壓縮感知的採樣方法只是一個簡單的將信號與一組確定的波形進行相關的操作。這些波形要求是與信號所在的稀疏空間不相關的。
壓縮感知方法拋棄了當前信號採樣中的冗餘信息。它直接從連續時間信號變換得到壓縮樣本，然後在數位訊號處理中採用最佳化方法處理壓縮樣本。這裡恢覆信號所需的最佳化算法常常是一個已知信號稀疏的欠定線性逆問題。
主要套用
無線通信
認知無線電方向：寬頻譜感知技術是認識無線電套用中一個難點和重點。它通過快速尋找監測頻段中沒有利用的無線頻譜，從而為認知無線電用戶提供頻譜接入機會。傳統的濾波器組的寬頻檢測需要大量的射頻前端器件，並且不能靈活調整系統參數。普通的寬頻接收電路要求很高的採樣率，它給模數轉換器帶來挑戰，並且獲得的大量數據處理給數位訊號處理器帶來負擔。針對寬頻譜感知的難題，將壓縮感知方法套用到寬頻譜感知中：採用一個寬頻數字電路，以較低的頻譜獲得欠採樣的隨機樣本，然後在數位訊號處理器中採用稀疏信號估計算法得到寬頻譜感知結果。
信道編碼：壓縮感測理論中關於稀疏性、隨機性和凸最最佳化的結論可以直接套用於設計快速誤差校正編碼, 這種編碼方式在實時傳輸過程中不受誤差的影響。在壓縮編碼過程中, 稀疏表示所需的基對於編碼器可能是未知的. 然而在壓縮感測編碼過程中, 它只在解碼和重構原信號時需要, 因此不需考慮它的結構, 所以可以用通用的編碼策略進行編碼. Haupt等通過實驗表明如果圖像是高度可壓縮的或者SNR充分大, 即使測量過程存在噪聲, 壓縮感測方法仍可以準確重構圖像。
陣列信號處理
波達方向估計：目標出現的角度在整個掃描空間來看，是極少數。波達方向估計問題在空間譜估計觀點來看是一個欠定的線性逆問題。通過對角度個數的稀疏限制，可以完成壓縮感知的波達方向估計。
波束形成：傳統的 自適應波束形成因其高解析度和抗干擾能力強等優點而被廣泛採用。但同時它的高旁瓣水平和角度失匹配敏感度高問題將大大降低接收性能。為了改進Capon 波束形成的性能，這些通過稀疏波束圖整形的方法限制波束圖中陣列增益較大的元素個數，同時鼓勵較大的陣列增益集中在波束主瓣中，從而達到降低旁瓣水平同時，提高主瓣中陣列增益水平，降低角度失匹配的影響。例如，最大主瓣旁瓣能量比，混合範數法，最小全變差。
成像
運用壓縮感測原理, RICE大學成功研製了\單像素"壓縮數位照相機。 設計原理首先是通過光路系統將成像目標投影到一個數字微鏡器件(DMD)上, 其反射光由透鏡聚焦到單個光敏二極體上, 光敏二極體兩端的電壓值即為一個測量值y, 將此投影操作重複M次, 得到測量向量 , 然後用最小全變分算法構建的數位訊號處理器重構原始圖像。數字微鏡器件由數字電壓信號控制微鏡片的機械運動以實現對入射光線的調整。 由於該相機直接獲取的是M次隨機線性測量值而不是獲取原始信號的N(M，N)個像素值, 為低像素相機拍攝高質量圖像提供了可能.。
壓縮感測技術也可以套用於雷達成像領域, 與傳統雷達成像技術相比壓縮感測雷達成像實現了兩個重要改進: 在接收端省去脈衝壓縮匹配濾波器; 同時由於避開了對原始信號的直接採樣, 降低了接收端對模數轉換器件頻寬的要求. 設計重點由傳統的設計昂貴的接收端硬體轉化為設計新穎的信號恢復算法, 從而簡化了雷達成像系統。
模擬信息轉換
對於頻寬非常高的信號, 例如雷達和通信信號處理系統涉及的射頻信號, 根據香農採樣定理, 要獲得完整的信號信息, 所採用的模數轉換器必須有很高的採樣頻率. 然而由於感測器及轉換硬體性能的限制, 獲得的信號的頻寬遠遠低於實際信號的頻寬, 存在較大的信息丟失. 對此Kriolos等設計了基於壓縮感測理論的模擬/信息轉換器， 利用壓縮感測理論中測量信息可以得到完整信號的原理, 首先獲得原始信號的線性測量, 再利用後端DSP重構原始信號或直接計算原始信號的統計數據等信息。
生物感測
生物感測中的傳統DNA晶片能平行測量多個有機體, 但是只能識別有限種類的有機體, Sheikh等人運用壓縮感測和群組檢測原理設計的壓縮感測DNA晶片克服了這個缺點。 壓縮感測DNA晶片中的每個探測點都能識別一組目標, 從而明顯減少了所需探測點數量. 此外基於生物體基因序列稀疏特性, Sheikh等人驗證了可以通過置信傳播的方法實現壓縮感測DNA晶片中的信號重構。
展望
非線性測量的壓縮感知。講壓縮感知解決的線性逆問題推廣到非線性函式參數的求解問題。廣義的講，非線性測量的壓縮感知，可以包括以前的測量矩陣不確定性問題，量化誤差問題，廣義線性模型問題，有損壓縮樣本問題。
壓縮感知在矩陣分解中的推廣套用。主成分分析，表示字典學習，非負矩陣分解，多維度向量估計，低秩或高秩矩陣恢復問題。
確定性測量矩陣的設計問題。 隨機矩陣在實用上存在難點。隨機矩陣滿足的RIP是充分非必要條件。在實際中，稀疏表示矩陣和隨機矩陣相乘的結果才是決定稀疏恢復性能字典。
傳統壓縮感知是以稀疏結構為先驗信息來進行信號恢復。當前最新進展顯示數據中存在的其他的簡單代數結果也作為先驗信息進行信號估計。聯合開發這些信號先驗信息，將進一步提高壓縮感知的性能。
