定義
不含有任何連線詞的謂詞公式叫 原子公式，簡稱 原子，將沒有變元出現的原子稱作 基原子（即“ 基礎原子”）。
相關概念
定義1 不含有任何連線詞的謂詞公式叫 原子公式，簡稱 原子，而原子或原子的否定統稱 文字 。
定義2 子句就是由一些文字組成的析取式。
基礎原子定義3 不包含任何文字的子句稱為 空子句，記為 。
定義4 由子句構成的集合稱為 子句集。
定義5 設謂詞公式G的子句集為S，則按下述方法構造的個體變元域H稱為公式G或子句集S的 Herbrand域，簡稱 H域。
基礎原子
基礎原子(1)令H是S中所出現的常量的集合。若S中沒有常量出現，就任取一個常量 ，規定 。
基礎原子
基礎原子 基礎原子
基礎原子
基礎原子(2)令{S中所有的形如的元素)，其中是出現於G中的任一函式符號，而是中的元素。i=0，1，2，…。
定義6 下列集合稱為子句集S的 原子集：
基礎原子A={所有形如的元素}
基礎原子 基礎原子其中，是出現在S中的任一謂詞符號，而則是S的H域上的任意元素。
定義7 將沒有變元出現的原子、文字、子句和子句集分別稱作 基原子、 基文字、 基子句和 基子句集。
定義8 當子句集S中的某個子句C中的所有變元符號均以其H域中的元素替換時，所得到的基子句稱作C的一個 基例。
基礎原子
基礎原子
基礎原子
基礎原子定義9 (可滿足性、不可滿足性)對於一個變元自由的一階語言公式G，如果至少存在一個D論域上的一個解釋，在此解釋下G為真，則稱G是 可滿足的，即；反之，如果對於任何解釋G均為假，則稱G是 不可滿足的，即，或。
基礎原子
基礎原子 基礎原子 基礎原子 基礎原子 基礎原子 基礎原子對於一個變元自由的一階語言公式集，即，如果至少存在一個D的解釋，在此解釋下，的每個以D為論域的公式均為真，則稱為可滿足的；如果D的所有解釋都有假公式，則稱是不可滿足的 。
不可滿足意義下的一致性
定理1設有謂詞公式G，而其相應的子句集為S，則G是不可滿足的充分必要條件是S是不可滿足的。
要再次強調：公式G與其子句集S並不等值，只是在不可滿足意義下等價。
基礎原子的子句集
基礎原子
基礎原子
基礎原子
基礎原子 基礎原子
基礎原子 基礎原子 基礎原子 基礎原子 基礎原子
基礎原子 基礎原子當 時，若設P的子句集為 ， 的子句集為 ，則一般情況下， 並不等於 ，而是要比 複雜得多。但是，在不可滿足的意義下，子句集 與 是一致的，即 不可滿足 不可滿足 。
海伯倫理論
H域上的解釋
定義10 如果子句集S的原子集為A，則對A中各元素的真假值的一個具體設定都是S的一個 H解釋。
基礎原子
基礎原子 基礎原子
基礎原子
基礎原子可以證明，在給定域D上的任一個解釋，總能在H域上構造一個解釋與之對應，使得如果D域上的解釋能滿足子句集S，則在H域的解釋也能滿足S(即若，就有)。
基礎原子 基礎原子 基礎原子 基礎原子 基礎原子定理2 設是子句集S在域D上的一個解釋，則存在對應於的H域解釋，使得若有，就必有。
定理3 子句集S不可滿足的充要條件是S對H域上的一切解釋都為假。
證明：充分性：若S在一般域D上是不可滿足的，必然在H域上是不可滿足的，從而對H域上的一切解釋都為假。
基礎原子
基礎原子
基礎原子必要性：若S在任一H解釋下均為假，必然會使S在D域上的每一個解釋為假。否則，如果存在一個解釋 使S為真，那么依據定理2可知，一定可以在H域找到相對應的一個解釋使S為真。這與S在所有H解釋下均為假矛盾。
定理4 子句集S不可滿足的充要條件是存在一個有限的不可滿足的基例集S’。
該常理稱為Herbrand定理 。
