發現背景
基爾霍夫法則是求解複雜電路的電學基本定律。從19世紀40年代，由於電氣技術發展的十分迅速，電路變得愈來愈複雜。某些電路呈現出網路形狀，並且網路中還存在一些由3條或3條以上支路形成的交點(節點)。這種複雜電路不是串、並聯電路的公式所能解決的，剛從德國哥尼斯堡大學畢業，年僅21歲的基爾霍夫在他的第1篇論文中提出了適用於這種網路狀電路計算的兩個定律，即著名的基爾霍夫法則。該法則能夠迅速地求解任何複雜電路，從而成功地解決了這個阻礙電氣技術發展的難題。基爾霍夫法則建立在電荷守恆定律、歐姆定律及電壓環路定理的基礎之上，在穩恆電流條件下嚴格成立。當基爾霍夫第一、第二方程組聯合使用時，可正確迅速地計算出電路中各支路的電流值。由於似穩電流(低頻交流電)具有的電磁波長遠大於電路的尺度，所以它在電路中每一瞬間的電流與電壓均能在足夠好的程度上滿足基爾霍夫定律。因此，基爾霍夫法則的套用範圍亦可擴展到交流電路之中。
基本概念
1、支路：
（1）每個元件就是一條支路，如圖ab、bd；
基爾霍夫 法則
（2）串聯的元件我們視它為一條支路，如圖aec；（3）流入等於流出的電流的支路。 2、節點：
（1）支路與支路的連線點；（2）兩條以上的支路的連線點，如圖a，b，c，d；（3）廣義節點（任意閉合面）。
3、迴路：
（1）閉合的支路，如abda，bcdb；（2）閉合節點的集合。
4、網孔：
（1）其內部不包含任何支路的迴路如abcea；（2）網孔一定是迴路，但迴路不一定是網孔如abcda
主要內容
基爾霍夫第一法則
第一定律又稱基爾霍夫電流法則，簡記為KCL，是電流的連續性在集總參數電路上的體現，其物理背景是電荷守恆公理。基爾霍夫電流定律是確定電路中任意節點處各支路電流之間關係的定律，因此又稱為節點電流定律，它的內容為：在任一瞬時，流向某一結點的電流之和恆等於由該結點流出的電流之和，即：
在直流的情況下，則有：
通常把上兩式稱為節點電流方程，或稱為KCL方程。
它的另一種表示為：
在列寫節點電流方程時，各電流變數前的正、負號取決於各電流的參考方向對該節點的關係（是“流入”還是“流出”）；而各電流值的正、負則反映了該電流的實際方向與參考方向的關係（是相同還是相反）。
通常規定，對參考方向背離（流出）節點的電流取正號，而對參考方向指向（流入）節點的電流取負號。
圖KCL的套用所示為某電路中的節點 ，連線在節點的支路共有五條，在所選定的參考方向下有：
KCL定律不僅適用於電路中的節點，還可以推廣套用於電路中的任一假設的封閉面。即在任一瞬間，通過電路中任一假設封閉面的電流代數和為零。
圖KCL的推廣所示為某電路中的一部分，選擇封閉面如圖中虛線所示，在所選定的參考方向下有：
基爾霍夫第二法則
第二定律又稱基爾霍夫電壓法則，簡記為KVL，是電場為位場時電位的單值性在集總參數電路上的體現，其物理背景是能量守恆公理。基爾霍夫電壓定律是確定電路中任意迴路內各電壓之間關係的定律，因此又稱為迴路電壓定律，它的內容為：在任一瞬間，沿電路中的任一迴路繞行一周，在該迴路上電動勢之和恆等於各電阻上的電壓降之和，即：
在直流的情況下，則有：
通常把上兩式稱為迴路電壓方程，簡稱為KVL方程。
KVL定律是描述電路中組成任一迴路上各支路（或各元件）電壓之間的約束關係，沿選定的迴路方向繞行所經過的電路電位的升高之和等於電路電位的下降之和。
迴路的“繞行方向”是任意選定的，一般以虛線表示。在列寫迴路電壓方程時通常規定，對於電壓或電流的參考方向與迴路“繞行方向”相同時，取正號，參考方向與迴路“繞行方向”相反時取負號。
圖KVL的套用所示為某電路中的一個迴路ABCDA，各支路的電壓在所選擇的參考方向下為u1、u2、u3、u4，因此，在選定的迴路“繞行方向”下有：u1+u2=u3+u4。
KVL定律不僅適用於電路中的具體迴路，還可以推廣套用於電路中的任一假想的迴路。即在任一瞬間，沿迴路繞行方向，電路中假想的迴路中各段電壓的代數和為零。
圖KVL的推廣所示為某電路中的一部分，路徑a、f 、c 、b 並未構成迴路，選定圖中所示的迴路“繞行方向”，對假象的迴路afcba列寫KVL方程有：u4+uab=u5，則：uab=u5-u4。
由此可見：電路中a、b兩點的電壓uab，等於以a為原點、以b為終點，沿任一路徑繞行方向上各段電壓的代數和。其中，a、b可以是某一元件或一條支路的兩端，也可以是電路中的任意兩點。
KCL的復頻域形式
從電路理論中已經知道，對於電路中的任一個節點A或割集C，其時域形式的KCL方程為
，k=1,2,3,……n，式中，n為連線在節點A上的支路數或割集C中所包含的支路數。對上式進行拉普拉斯變換得
式中，
為支路電流ik(t)的像函式。上式即為KCL的復頻域形式。它說明集中於電路中任一節點A的所有支路電流像函式的代數和等於零；或者電路的任一割集C中所有支路電流像函式的代數和等於零。 KVL的復頻域形式
對於電路中任一個迴路，其時域形式的KVL方程為
，k=1,2,3,……n。式中，n為迴路中所含支路的個數。對上式進行拉普拉斯變換即得
，式中，
為支路電壓uk(t)的像函式。上式即為KVL的復頻域形式。它說明任一迴路中所有支路電壓像函式的代數和等於零。
相關套用
基爾霍夫法則（KCL）描述了電路中各支路的電流之間的關係，基爾霍夫法則（KVL）描述了電路中各支路電壓之間的關係，它們都與電路元件的性質無關，而只取決於電路的連線方式。所以我們把這種約束關係稱為連線方式約束或拓撲約束，而把根據它們寫出來的方程分別稱為KCL約束方程和KVL約束方程。
附
基爾霍夫法則是有關熱輻射的基本定律中的一條，在熱輻射的理論和套用中都占有很重要的地位。又成為基爾霍夫輻射法則。
輻射
實驗得知，當熱量平衡情況下，即溫度保持恆定時，如物體發出波長λ的輻射能，也將吸收同樣波長λ的輻射能；發射率較大的物質，其吸收率也較大。基爾霍夫定律表述了這種關係：物體的發射率(eλ,T)和吸收率(aλ,T)與物體的性質有關，但eλ,T與aλ,T的比值和物體的性質無關。對所有物體而言，此比值只是溫度T與波長λ的函式，用下式表示： 基爾霍夫定律
式中eλ.T和aλ.T分別為在溫度一定時物體對某一波長的輻射能力和吸收率；Eλ.T為一常數。
對於一定的波長λ，在一定的溫度T時，此比值為與物體性質無關的常數。對於絕對黑體來說，aλ,T= 1，所以絕對黑體的發射率就等於E(λ,T)。顯然，任何物體在某一溫度T時，對某一波長λ的發射率與吸收率之比值就等於絕對黑體在同溫度T時同一波長λ的發射率。
由此可知：①輻射能力強的物體，其吸收能力也強，反之亦然；②對於同一物體，在溫度T時輻射某一波長的輻射，那么它也吸收這一波長的輻射；③在同一溫度下，任何物體的輻射能力，都小於黑體的輻射能力。基爾霍夫法則把一般物體的輻射、吸收與黑體的輻射聯繫起來，從而可能通過研究黑體輻射來了解一般物體的輻射。
怎么推導出來的
基爾霍夫法則的實質是穩恆電流情況下的電荷守恆定律
其中推導過程中推出的重要方程是電流的連續性方程
即SJ*dS=-dq/dt（第一個S是閉合曲面的積分號，J是電流密度矢量，*是矢量的點乘，dS是被積閉合曲面的面積元，dq/dt是閉合曲面內電量隨時間的變化率）
意思是說電流場的電流線是有頭有尾的，凡是電流線發出的地方，該處的正電荷的電量隨時間減少，電流線匯聚的地方，該處的正電荷的電量隨時間增加
對穩恆電流，電流密度不隨時間變化，必有SJ*dS=-dq/dt=0，這就是穩恆電流的閉合性，同時也是基爾霍夫法則的推導基礎
