圖象分層具有如下一些重要的性質,它們是後面進行推導必不可少的條件:
(1)尺度間具有馬爾可夫性質.隨機場從上到下形成了馬爾可夫鏈,即Xi的分布只依賴於Xi,與其他更粗 糙的尺度無關,這是因為 Xi 已經包含了所有位於其上層的尺度所含有的信息.(2)隨機場像素的條件獨立性.若 Xi 中像素的父節點已知,則 Xi 中的像素彼此獨立.這一性質使我們不必再 考慮平面格線中相鄰像素間的關係,而轉為研究尺度間相鄰像素(即父子節點)間的關係.
(3)設在給定 Xn 的情況下,Y 中的像素彼此獨立.
(4)可分離性.若給定任一節點 xs,則以其各子節點為根的子樹所對應的變數相互獨立.
從只有一個節點的根到和圖像大小一致的葉子節點,建立了完整的四叉樹模型,各層間的馬爾可夫鏈的因 果關係使我們可以由非疊代的推導過程快速計算出 X的最大後驗機率或後驗邊緣機率.
完整的四叉樹模型也存在一些問題.(1)因機率值過小,計算機的精度難以保障而出現下溢,若層次多,這一 問題更為突出.雖然可以通過取對數的方法將接近於0的小值轉換成大的負值,但若層次過多、機率值過小,該 方法也難以奏效,且為了這些轉換所採用的技巧又增加了不少計算量.(2)當圖像較大而導致層次較多時,逐層 的計 算甚 為繁瑣 下 溢 現 象肯定 會出 現 , 存儲中 間變 量也 會占 用大 量空 間 , 在時 間空間 上都 有更 多的 開銷 .
(3)分層模型存在塊效應,即區域邊界可能出現跳躍,因為在該模型中,同一層隨機場中相鄰的像素不一定有同 一個父節點,同一層的相鄰像素間又沒有互動,從而可能出現邊界不連續的現象.
為了解決這些問題,我們提出一種新的分層MRF模型——半樹模型,其結構和圖1 5類似,仍然是四叉樹,
只 是層數比完整的四叉樹大大減少,相當於將完整的四叉樹截為兩部分,只取下面的這部分.模型最下層仍和圖像 大小一致,但最上層則不止一個節點.完整的四叉樹模型所具有的性質完全適用於半樹模型,不同點僅在於最上層,完整的樹模型從上到下構成 了完整的因果依賴性,而半樹模型的層間因果關係被截斷,該層節點的父節點及祖先均被刪去,因此該層中的各 節點不具有條件獨立性,即不滿足上述的性質2,因而對這一層轉為考慮層內相鄰節點間的關係.半樹模型和完 整的樹模型相比,層次減少了許多,這樣,層次間的信息傳遞快了,機率值也不會因為過多層次的逐層計算而小 到出現下溢.但第 0 層帶來了新的問題,我們必須得考慮節點間的互動,才能得出正確的推導結果,也正是因為在 第 0 層考慮了相鄰節點間的影響,使得該模型的塊現象要好於完整的樹模型.對於層次數的選取,我們認為不宜多,太多則達不到簡化模型的目的,其優勢體現不出來,但也不能太少,因 為第 0 層的機率計算仍然要採用非疊代的算法,層數少表明第 0 層的節點數仍較多,計算費時,所以在實驗中將 層數取為完整層次數的一半或一半稍少.
3半樹模型的 MPM 算法
圖像分割即已知觀測圖像 y,估計 X 的配置,採用貝葉斯估計器,可由一個最佳化問題來表示:?x = arg min 【E C ( x, x )′| Y = y】 ,x其中代價函式 C 給出了真實配置為 x 而實際分割結果為 x′時的代價.在已知 y 的情況下,最小化這一代價的期 望,從而得到最佳的分割.代價函式取法不同得到了不同的估計器,若C(x,x′)=1?δ(x,x′)(當x=x′時δ(x,x′)=1,否則 δ(x,x′)=0)得到的是 MAP 估計器,它意味著 x 和 x′只要在一個像素處有不同,則代價為 1,對誤分類的懲罰比較重,汪西莉等:一種分層馬爾可夫圖像模型及其推導算法
而在實際中存在一些誤分類是完全允許的.若將半樹模型的MPM算法記為HT-MPM,它分為向上算法和向下算法兩步,向上算法自下而上根據式(2)、 式 (3)逐層計 算P(yd(s)|xs)和P(xs,xρ(s)|yd(s)), 對最下層P(yd(s)|xs)=P(ys|xs). 向下算法自上 而下根據 式 (1)逐層計算 P(xs|y),對最上層由 P(x0|y)採樣 x0(1),…,x0(n),
