哥德爾不完全性定理( Godels incompleteness theorem)關於形式演繹系統的元定理。哥德爾在《論數學原理和有關係統中的形式不可判定命題加1931)一文中提出,故稱。
它斷定:在任何包含初等數論的一致的形式系統中,存在著一個命題命題和它的否定都不是系統的定理。這個命題稱為不可判定命題。考慮到命題和它的否定總有一真,定理也可以這樣敘述;在上述系統中存在不可判定的真命題。通常把這種表述稱為哥德爾第一定理。該定理有一推論:一個包含數論的形式系統的一致性,在系統內部是不可證明的通常稱為哥德爾第二定理。
哥德爾不完全性定理是邏輯學和數學在現代發展中取得高度成就的背景下產生的。自17世紀萊布尼茨最早提出通過建立通用語言把演繹邏輯轉換為類似於數學的演算的現代邏輯的構想,經布爾、弗雷格、羅素和懷特海的努力,基本上得以實現。在羅素和懷特海合著的《數學原理》中已經把邏輯轉換成了演算。但是在數學和邏輯的公理系統中,都尚有一個系統是否一致,是否無矛盾的問題。1922年希爾伯特提出把數學理論置於邏輯之中,加以完全形式化然後用有窮觀點去研究系統及其證明,以試圖證明系統的一致性,即“希爾伯特方案”。但哥德爾不完全性定理所提出的一致性不能在系統內部獲證的證明,否定了希爾伯特這一方案。哥德爾不完全性定理標誌著邏輯科學現代發展的新階段的開始。它與塔爾斯基的形式語言的真理論、圖靈機和判定問題被稱為現代邏輯科學在哲學方面的三大成果。哥德爾定理不僅對邏輯和數學基礎方面研究有重大影響,對其他數學領域也將產生直接影響。
