命題函項
{轉自中山大學黃敏教授的微博}
例題
下面介紹弗雷格是如何分析命題的。
弗雷格通過對函式的語義學研究對命題進行分析的基本模式。看這樣一個函式式：
（1）y=x+3
在代數中，“x”和“y”被稱為變數，“x”又叫自變數或主目，“y”又叫因變數或函式值，函式式（1）表示這兩個變數之間的關係。這一點可以用一種更為普遍的形式表達：
（2）y=f（x）
我們用“f（）”來表示這種關係。把其中的變數賦值，就得到完整的數學命題。通常我們會把這種關係稱為函式。在集合論中，函式可以用映射來表達。我們分別為兩個變數指定變域，每當x取一個值，y就在其值域中取唯一值。x的不同取值不一定要對應於y的不同取值，不同x值可以取同一個y值，所以這種對應關係是一種多對一的關係。如果把（2）稱為對函式的代數表達，而把多對一關係的表達稱為集合論表達，那么對函式的代數表達與集合論表達在數學上等價。我們會看到這種等價關係在弗雷格那裡得到體現。
到此為止我們還沒有考慮語義。如果考慮語義就會發現一個問題。現在問，在上面兩種形式中“x”和“y”表示什麼呢？自然，我們已經稱其為“變數”，因而它們分別表示一個變化的數。問題就出在這裡——有變化的數嗎？現在把2和6分別賦給x和y，我們得到一個完整的命題：
（3）5=2+3
但6和2都不是變化的數，也不是不確定的數。顯然，說“變化的數”，並不是指某個數是變化的，而是說，我們可以把一些不需要特別指出來的數賦給這兩個變數，而這兩個變數並不表示這些數。換言之，這兩個變數在這裡並不起表示某個數的作用，其作用在於為構成一個命題創造條件。比如說，把（1）換成下面的形式就很明顯：
（4）（）=（）+3
只要在括弧中填上數字，就構成了一個算術命題。換一個函式式，這種作用表現得更明顯：
（5）x/y+x+y=30
改成括弧的形式：
（6）（）/（）+（）+（）=30
依照（5）的提示，在（6）中代入的數字要符合這個要求，填入第一個括弧與第三個括弧的數相等，填入第二個括弧與第四個括弧的數字相等。
這能夠說明什麼呢？這說明在函式表達式中，變數是一個句法（syntactical）概念，而不是語義（semantical）概念。變數為函式表達式提供形式上的約束，其本身並不表示對象。與變數對立的是常量，例如（1）中的“3”。常量是語義概念，“3”就表示自然數3。這樣，我們自然就獲得了一個想法：把一個命題中的常量換成變數，就得到這個命題的形式。
現在把對函式的討論推廣到一般的命題形式。由於我們討論的不僅僅是數，所以就把原來術語裡的“量”改稱“項（term）”。正如在數學中用“量”代表數，“項”在這裡代表對象。看下面這個命題：
（7）海倫是特洛伊的公主。
這個命題提到兩個對象，海倫這個人和特洛伊這個城邦。於是就可以變換成下面的命題形式：
（8）x是y的公主。
這個命題說的是兩個對象之間的關係，一個是另一個的公主。因而我們可以把（8）寫成這種函項式：
（9）x=P（y）；或（）=P（）。
其中“P（）”表示“（）的公主”。也可以換成這種形式：
（10）x是特洛伊的公主。
在這個形式中，把“x”換成代表不同對象的詞，就得到不同的句子。現在我提一個問題：能否把（10）寫成函項式呢？
如果用“T（）”來表示“是特洛伊的公主”，那么就會得到這樣一個函項式：
（11）T（x）。
這當然是一個命題，就像（9）一樣。雖然這裡出現了形式一樣的“P（）”和“T（）”，但是，我們可以說前一個表示的是關係，需要至少兩個對象才能構成完整的命題，而後一個表示性質，只需要一個對象就行了。這就是說（11）與（9）一樣，都是完整的命題。但是，我們在前面就知道，函項應當表示關係，（11）所表示的是賦給x的東西與什麼之間的關係呢？如果把這個與賦給x的東西有關係的東西留給一個變元y，就會得到：（12）y=T（x）
這樣一個函式式，y是函式值。問題是，y的值是什麼。
一個直接的想法是，既然在（11）中給x賦一個值以後得到的是一個命題，那么y的值就是一個命題。比如說“海倫是特洛伊的公主”這個命題。如果這個理解是對的，那么就得到一個相當沒意思的關係。無論對x賦一個什麼樣的值，它都得出了一個由此構成的命題。但是，函項所表示一個東西與另一個東西之間的關係，斷定兩個東西之間有這種關係，是一個有意思的命題。就以（1）為例吧。當把（1）中的x賦值3，那么就要把y賦值6，3和6之間有（1）所表示的關係。如果按我們現在的理解，認為y的值是對x賦值後得到的表達式，（1）就無疑等於說“x+3=x+3”。這等於什麼也沒說。
弗雷格的想法是，（12）中的y要以真或假為值。這個想法看來是很自然的。在（1）中，給x賦值3，而y的取值就取決於由此得到的“3+3”；同樣，在（12）中給x賦值海倫這個人，由此得到的命題“海倫是特洛伊的公主”就決定了y取何值；既然任何一個命題都會有唯一真值，y取真值就是恰好滿足了函式可以是多對一關係這一點。
這樣就獲得了命題函項的概念。一個命題函項就是一個其函式值為真值的函項。能夠對應於真值的東西就是命題，其他東西都不具有這種性質（大家可以考慮一下，一個物體，一個人，一個事實，一個狀態，這些東西能不能說是真的或假的。可參考弗雷格的文章《思想》）。因此，函式值為真值的函項，其實就是為自變元賦值後的得到命題的函項，這就是稱其為“命題函項”的原因。
命題函項這個概念揭示了命題的一般形式。顯然，命題函項其實就是謂詞（predicate），這是常項，而自變元所賦的值由主詞來表示。
命題函項這個概念是現代邏輯學即數理邏輯的起點，而這個起點要歸功於弗雷格。以命題函項的形式刻畫命題，與傳統的亞里士多德邏輯刻畫命題的方式相比有非常大的優勢。這種優勢首先表現在技術上。傳統的形式是主謂式，一個主詞與一個謂詞相連線就構成一個命題，這種形式不利於刻畫關係，特別是多元關係。比如說“這把椅子在講台與桌子之間”，這裡有三個表示對象的詞，都可以作為主詞，而剩下的部分只能作為一個整體看成謂詞，無法表現出謂詞究竟是如何構造出來的。如果採取函項式，就可以寫成“P（x, y, z）”這樣的形式，其結構一目了然。技術上的第二個好處是可以引入量詞（quantifier），比如像“有些”，“所有”等等，而這些詞項在主謂形式中很難得到簡潔的處理。關於這一點我們在後面會提到。
函項式在另外一個方面也優於主謂式。在主謂式命題形式中，主詞與謂詞分別代表不同的東西，那么這些不同的東西之間是如何連線起來構成命題的呢？這個問題很難得到解釋。而函項式則不存在這個問題。一個命題函項本身就是主詞與謂詞相連線的結構，我們可以把這個結構看成留下了空位的框架，只要在空位上填上一些東西，就構成了命題。不妨這樣理解，按傳統的主謂形式，主詞與謂詞被當成是初始的東西，命題以一種方式把這些初始的東西結合在一起；而函項的形式則是把命題所要求的結合關係看成是初始的，根據這種結合關係的要求填上一些東西，就構成命題。正是基於這一點，弗雷格提出了著名的語境原則——要在命題中理解詞項的意義。語境原則在弗雷格思想中的確切地位如何，對這一點存在很多爭論，但有一點是不可否認的，這個原則承認了，詞項的意義至少部分地決定於命題的形式。比如說，無論我們在（10）這個命題函項主目位置填上什麼詞項，這個詞項代表什麼，要確定這一點不能不考慮這個命題的形式。這一點的確切意義非常清楚地表現在概念與對象的區分上。
