周氏坐標

人物簡介

周煒良 1911年10月1日生於上海．代數幾何．
周煒良的父親周達(美權)是清末民初著名數學家、集郵家，家境比較富裕．周煒良幼年在上海生長，從未進過學校．5歲開始學中文，11歲學英文，都由家庭教師講授．20年代上海的大中學校頗多使用美國的原文課本，周煒良即自學各種知識：從數學到物理，從歷史到經濟．1924年，周煒良懇求父親送他到美國讀書，先在肯塔基州的阿斯伯里學院補習，後來進入肯塔基大學．那時的主要興趣在政治經濟．直到1929年10月進入芝加哥大學時，仍然主修經濟學．可是此後兩年內發生了變化．
1931年夏天，一位在芝加哥大學得到博士學位後又去普林斯頓工作一年的中國數學家，勸周煒良到普林斯頓去，或者去德國的哥廷根大學——那時的世界數學中心．於是在1932年10月，周煒良帶著研究數學的模糊想法去了哥廷根．補了半年的德文後，希特勒法西斯上台，哥廷根衰落了．周煒良在芝加哥時曾讀過B．L．范·德·瓦爾登(Van der Waerden)寫的《代數學》(Algebra)，十分欣賞，於是轉到萊比錫大學隨范·德·瓦爾登研究代數幾何，這是1933年夏天的事．次年夏天，周煒良到漢堡渡暑假，遇到維克特(Margot Victor)小姐，成為好友．周煒良滯留漢堡大學，隨數學家E．阿丁(Artin)聽課．直至1936年初才回到萊比錫，在范·德·瓦爾登指導下完成博士論文，並和維克特完婚．婚禮上，正在漢堡大學留學的陳省身是唯一的中國賓客．
周煒良成家立業之後，遂返回上海，在南京的中央大學任數學教授．一年後，抗日戰爭爆發，不得已留在上海．周煒良的岳父在德國曾有很好的工作，由於希特勒的種族迫害而流亡上海，幾乎身無分文．這時的周煒良必須自立掙錢，供養太太、兩個孩子，以及岳父母．
抗日戰爭勝利後，周煒良計畫經營進出口貿易．大約在1946年春天，陳省身從美國返回上海．他力勸周煒良重返數學研究，並留下許多戰時發表的論文，特別是O．扎里斯基(Zariski)和A．韋伊(Weil)的論文預引本．周煒良雖然離開數學已近10年之久，但他終於作出了他一生中最重要的決定：回到數學領域．
由於陳省身寫信給普林斯頓的S．萊夫謝茨(Lefschetz)作了推薦，周煒良在上海同濟大學短期任教之後，便於1947年春天到達普林斯頓．他在那裡做了一些相當好的工作．次年，范·德·瓦爾登訪問位於美國馬里蘭州的約翰·霍普金斯大學，周煒良去看他，恰好該校有一個教職的空缺，周煒良遂應聘到那裡就任副教授．1950年升任正教授．當年，戰後首次恢復的國際數學家大會在美國舉行，周煒良作為該校的正式代表與會，會後曾在哈佛大學短期講學．1955年再度去普林斯頓進行訪問研究，返回霍普金斯大學之後就任數學系主任，前後達11年之久(1955—1966)．1959年，他當選為台北中央研究院院士．1977年，周煒良退休，成為霍普金斯大學的榮退教授．
周煒良把畢生精力奉獻給代數幾何的研究，成為20世紀代數幾何學領域的主要人物之一，以周煒良名字命名的數學名詞，僅在日本《岩波數學詞典》里就收有7個．回顧20世紀中國數學的歷史，能在世界數壇上留下痕跡的華人數學家並不多，周煒良是其中傑出的一位．
代數幾何學是解析幾何的深入和發展．正如二元二次代數方程。x2+y2=r2的解集(x，y)可以表示半徑為r的圓，代數幾何的研究對象仍是高次多元代數方程或代數方程組的解集，即係數在某域k內的n元多項式F1，F2，…，Fn所形成的代數方程組F1(x1，…，xn)=0，F2(x1，…，xn)=0，…，Fn(x1，…，xn)=0的位於域k內的公共解集合V，我們稱之為代數簇(algebraicvariety)，最簡單的代數簇就是平面曲線．橢圓函式、橢圓積分、阿貝爾(Abel)積分等都與平面曲線有關，復變數的代數函式論及黎曼曲面論進一步推動了現代代數幾何學的發展．
19世紀下半葉，德國的R．克萊布施(Clebsch)、J．普呂克(Plcker)、M．諾特(Noether)以及義大利學派曾做出很大貢獻．經過J．H．龐加萊(Poincar)、C．E．皮卡(Picard)、J．W．R．戴德金(Dedekind)和A．凱萊(Cayley)的發展，到20世紀20—30年代，E．諾特(Noether)、E．阿廷(Artin)和他們的學生范·德·瓦爾登創立了抽象代數學，為代數幾何學的研究注入了新的活力．周煒良的代數幾何學研究正是在這樣的背景下開始的．

周氏坐標簡介

周煒良坐標

1937年，周煒良最初的兩篇論文發表在德國《數學年刊》(Mathematische Annalen)上．第一篇是與范·德·瓦爾登合作的，第二篇則是周煒良的博士論文．這兩篇文章繼承了凱萊和普呂克的工作，並將其推廣到n維射影空間Pn上的代數簇．其中指出，任何n維射影空間Pn中的不可約射影族X可唯一地由一個配型(associated form)Fx所決定，配型的坐標即著名的周煒良坐標．該坐標是普呂克坐標的推廣，現已成為代數幾何學研究的一項基本工具．
抗日戰爭開始後，周煒良在上海閒居，繼續研究數學．1939年，他發表了一篇重要論文“關於一階線性偏微分方程組”，將C．卡拉西奧多里(Carathodory)的一項工作(1909)推廣到一般的高維流形．當時並未引起人們注意，事隔30餘年之後，這篇文章成為非線性連續時間系統可控性數學理論的基石之一．控制論表達的周煒良定理(或稱卡拉西奧多里-周定理)可以寫成：
設V(M)是解析流形M上所有解析向量場的全體，D是V(M)中對稱子集，T(D)是V(M)中含D的最小子代數，I(D，x)是通過x的極大積分流形．那么，對任何x∈M，y∈I(D，x)，都存在一條積分曲線α：[0，T]→M，T≥0，使得α(0)=x，且α(T)=y．
抗日戰爭後期，周煒良曾有論文涉及代數基本定理的拓撲證明和電網路理論等，似乎已偏離了代數幾何學的方向．信息斷絕和乏人討論，恐是主要原因．
周煒良於1947年到達普林斯頓高級研究院，開始了他的黃金創作期．他首先撰文闡明，E．嘉當(Cartan)意義下的對稱齊次空間可以表示為代數簇，因而能用代數幾何的框架研究其幾何學性質．該文所附文獻中包括華羅庚的有關矩陣幾何學的論文多篇．1947—1948年間，法國數學家C．謝瓦萊(Chevalley)也在普林斯頓，他對周煒良的這篇論文做了很長的評論性摘要，發表於美國的《數學評論》(Mathematical Review)．謝瓦萊曾邀請周煒良證明下列猜想：“任何代數曲線，在一個代數系統中的虧數，不會大於該系統中一般曲線的虧數”．周煒良使用純代數的方法給出了證明，其主要工具之一仍然是范德瓦爾登-周煒良形式．

關於解析簇的周煒良定理

周煒良於1949年發表了一篇重要論文“關於緊復解析簇”．所謂解析簇V，是指對任何p∈V，總存在一組解析函式g1，g2，…，gn，和點p的一個鄰域B(p)，使得V∩B(p)中的點x都是g1，g2，…，gn的零點．這是一種局部性質．由於多項式都是解析函式，所以代數簇都是解析簇．周煒良證明了某些情形下的逆命題：
“若V是n維復射影空間CPn中的閉解析子簇，那么它一定是代數簇，而且所有閉解析子簇間的半純映射，一定是有理映射”．
這一反映由局部性質向整體性質過渡的深刻結論，被稱為周煒良定理(Chow Theorem)，在代數幾何學著作中廣受重視．在許多論文裡，常常把它作為新理論的出發點．

復解析流形

1950年前後，復解析流形的研究形成熱門課題．日本數學家小平邦彥(K．Kodaira)是這方面的專家，當時也在美國工作，與周煒良有交往．1952年，周煒良證明了如下結果：“若V是復r維的緊復解析流形，F(V)是V上半純函式所構成的域，則F(V)是有限的代數函式域，其超越維數s不會大於r．此外，還存在一s維的代數簇V'以及V到V'的半純變換T，使T可誘導出F(V)和F(V')間的同構．特別地，如果可選擇V'使得T還是雙正則變換，那么V必是代數簇．這就把復解析流形和代數簇聯繫起來了．
把這個一般的結論用於二維的克勒(Khler)曲面，並用小平邦彥所建立的克勒流形上的黎曼-羅赫(Riemann-Roch)定理，就可以得出如下結論：“具有兩個獨立的半純函式的克勒曲面(即s=r=2的情形)一定是代數曲面．”這是周煒良和小平邦彥合作的論文中的一個結論，被稱為周-小平(Chow-Kodaira)定理．

周煒良簇和周煒良環

用周煒良坐標可以對平面曲線和空間曲線進行分類．只要由已知的次數d和虧數g，從非奇異的空間射影曲線的周煒良坐標形成所謂周煒良簇，就能很自然地用有限個擬射影簇將它參數化．
在射影簇研究上，另一個為人們稱道的周煒良引理(ChowLemma)，涉及完全簇和射影簇的關係．蘇聯數學家И．Р．沙法列維奇(ЩaфapeВИЧ)在其名著《代數幾何基礎》中曾提到這一引理：
“對於每一個不可約的完全簇X，總有一個射影簇X'，使得X和X'之間有一雙有理同構”．
周煒良在射影簇方面最著名的工作是提出周煒良環(ChowRing)．他於1956年發表的論文“關於代數簇上閉鏈的等價類”中，提出了射影代數簇上代數閉鏈的有理等價性的系統理論．大意是：設V是n維射影空間Pn上的代數簇，其上的s維閉鏈所成的群為G(V，s)，與零鏈等價的閉鏈成子群Gr(V，s)．令Hr(V，s)是二者的商群．將s從1到n作直和，得
Hr(V)=Hr(V，s)．
周煒良在Hr(V)上定義一種乘法，使之構成環，這就是著名的周煒良環．它是結合的，交換的，具有單位元．這篇論文由M．F．阿蒂亞(Atiyah)寫成文摘刊於美國的《數學評論》．
周煒良環具有很好的函子性質：設p是兩代數簇X，V之間的模射，f：X→V，則V中閉鏈C的原象f-1(C)也是X中的閉鏈，且此運算與相截(intersection)和有理等價性能夠相容．因此，它是代數幾何研究中的一項重要工具．周煒良環在許多情形可以代替上同調環．在證明各種黎曼-羅赫定理時，常用周煒良環去導出陳省身類．著名的韋伊(Weil)猜想的解決，也可使用周煒良環．
另一個常被引用的結論是所謂周煒良運動定理(Chow’s Mo-ving Lemma)：若Y，Z是非奇異擬射影簇X中的兩閉鏈，則必存在與Z有理等價的閉鏈Z'，使Y和Z'具有相交性質(inte-rsect property)．1970年在奧斯陸舉行的代數幾何會議上，有專文論述此定理．

關於阿貝爾簇的周煒良定理

20世紀40年代，A．韋伊(Weil)等開創了阿貝爾簇的研究．他們把代數曲線上的雅可比(Jacobi)簇發展為一般代數流形上的皮卡-阿爾巴內塞(Picard-Albanese)簇理論，將過去義大利學派的含糊結果加以澄清．周煒良對此作了豐富和發展，並推廣到特徵p域的情形．周煒良在文獻[10]中證明對一般射影代數簇都存在雅可比簇．文獻[11]和[12]給出了阿貝爾簇的代數系統理論，其中有關可分(separable)、正則(regular)和本原擴張(pri-mary extention)的論述，已成為這一領域的基本文獻．
周煒良還證明了以下結論：“若A是域k上的阿貝爾簇，B是定義在k的準素擴張K上的阿貝爾子簇，那么B也在k上有意義．”S．郎(Lang)稱之為周煒良定理．
周煒良在1957年發表的關於阿貝爾簇的論文也反覆被人引用．這一年，普林斯頓大學以數學名家萊夫謝茨的名義舉行“代數幾何與拓撲”的科學討論會，韋伊和周煒良都參加了．他們兩人在會上宣讀的論文密切相關．韋伊證明任何阿貝爾簇都可嵌入射影空間，而周煒良則證明任何齊次簇(不必完備)也可嵌入射影空間．文章不長，但解決得很徹底．

其他工作

周煒良在代數幾何領域的研究，涉及很廣．例如扎里斯基關於抽象代數幾何中的退化原理(degeneration principle)的論證，很長而且難懂，周煒良把證明作了大幅度壓縮，並加以推廣．他和井草準一(J．lgusa)合作，建立了環上代數簇的上同調理論．此外，還推廣了代數幾何中的連通性定理．在擴充由W．V．霍奇(Hodge)與D．佩多(Pedoe)證明的格拉斯曼(Grassm- ann)簇的基本定理時，指出了某些環空間上的代數特性．這些都是很有價值的工作．退休之後，周煒良仍然研究不輟．1986年，他以75歲高齡，發表了題為“齊次空間上的形式函式(formalfunction)”的論文．
P．拉克斯(Lax)把周煒良列為最重要的移居美國的數學家之一．但他性情淡泊，甚至很少參加國際學術會議．他是台北中央研究院院士，卻長期不參加活動．應該說，周煒良的學術成就遠超過他應得的榮譽．不過，各種代數幾何的論著不斷地引用周煒良的工作，並以周煒良的名字陸續命名一系列術語，這也許是更有意義的褒獎了．