基本介紹
可構造性公理(the axiom of constructibility)是集合論的重要假設之一，即命題“每個集合都是可構造集”，記為V=L(參見下文“可構造性”)，可構造性公理雖被稱為公理，但人們並不把它視為像ZF系統的基本公理一樣理所當然地為“真”，也不把它作為一個新的集合論基本假設加到ZF或ZFC公理系統上，之所以稱之為公理，是因為它是一個非常強的集合論命題，在可構造公理下，許多重要的不能由ZF系統或ZFC系統決定的集合論假設(如廣義連續統假論、選擇公理、某些組合原則等)就可以被確定下來。
美籍奧地利數學家哥德爾(K.Gödel)和美國數學家科恩(P.J.Cohen)分別證明了可構造性公理相容且獨立於ZFC公理系統，可以用構造性公理擴充ZFC系統，以便獲得更多相容於ZFC系統的集合論命題，這方面的研究構成了可構造性理論的主要內容，然而並沒有任何跡象表明可以將可構造性公理作為集合論基本假設加到ZFC公理系統中，相反地，隨著大基數理論的研究，人們發現某些大基數的存在性與可構造性公理相悖，如假設可測基數存在，則可以證明存在不可構造的集合，而某些大基數的存在性似乎比假設可構造性公理更具直觀基礎，儘管如此，可構造性理論作為一種集合論相容性與獨立性證明的強有力的工具，仍然被廣泛研究與套用 。
可構造性
可構造性(constructibility)是一種可構造集理論，是研究集合的可構造性以及可構造集合的各種特殊性質的理論，也是證明集合論命題相對相容性的一種重要方法，集合論的可構造性由美籍奧地利數學家哥德爾(K.Gödel)於1938年在證明選擇公理相對於ZF系統，及連續統假設相對於ZFC系統的相容性時提出.在ZFC系統中，似乎所有集合都可以通過累積分層的方法從空集開始，通過反覆運用冪集運算構造出來，即令R(0)=0，R(α+1)=P(R(α)).當α為極限序數時，
可構造性公理則
可構造性公理這裡On為所有序數構成的類。然而，這種構造只說明了V的構造過程，並不是V中的每個元素都可以用這種方法構造出來，也就是說，ZFC系統只提供了構造出一個集合框架的手段，而未曾提供構造框架中每個元素的方法，其原因在於冪集運算似乎將集合擴充得過大，使得人們只能說明對任何集合x而言，x的所有子集可以構成一個新的集合P(x)，但P(x)究竟包含了哪些元素，卻無法在ZFC系統中具體地描述出來。例如，不能一一定義出P(ω)中的所有元素，否則P(ω)的基數就可以輕鬆地確定下來，從而也就可以解決連續統假設問題，為了限制冪集運算，哥德爾利用“可定義冪集”取代冪集，所謂一個集合x的可定義冪集Def(x)，指包含能用集合論語言定義出的所有x的子集(參見“可構造集全域”)，因此，一旦x已知，則Def(x)中的每個元素也可描述，令L(0)=0，L(α+1)=Def(L(α))，當α為極限序數時，
可構造性公理稱{L(α)：α∈On}為集合的可構造分層，再令
可構造性公理稱L為可構造集全域，L中的元素稱為可構造集，可構造集一定為集合，但隨之而來的一個問題是：是否每個集合都是可構造集，即是否有L=V，通常把假設“V=L”稱為 可構造性公理，哥德爾1938年證明，可構造性公理與ZFC系統相容，亦即在ZFC系統中無法證明V≠L，後來，美國數學家科恩(P.J.Cohen)於1963年利用力迫法證明了V≠L與ZFC系統也相容，從而得出可構造性公理獨立於ZFC公理系統，儘管在ZFC系統中無法確定每個集合是否都是可構造集，但人們可以通過可構造集的特別的構造方式獲得有關可構造集的若干特殊性質，由可構造性公理相對於ZFC系統的協調性可知，這些性質也協調於ZFC公理系統，以這種方式可以獲得大量集合論相容性結果，這種相對相容性證明方法稱為可構造性方法，選擇公理相對於ZF系統的協調性以及連續統假設(包括廣義連續統假設)相對於ZFC系統的協調性正是利用這種方法獲得的，另外許多重要的組合原則、大基數性質及一些拓撲學性質相對於ZF系統或ZFC系統的協調性也可以利用這種方法得到證明，法國數學家、工程師萊維(A.Lévy)與休恩菲爾德(J.R.Shoenfield)等人於20世紀50年代末期，在哥德爾可構造性方法的基礎上，發展了一種更為靈活的可構造性理論，稱為相對可構造性，目前可構造性理論已經成為現代集合論的一個重要分支，被廣泛套用於無窮組合論、拓撲學、描述集合論等數學分支中的相容性證明中，延森(R.Jensen)於20世紀70年代發展了他的精細結構理論(fine-structure theory)，延森的可構造域的覆蓋定理，是20世紀70年代集合論中最引人注目的、最深刻的進展，如今，研究滿足很強的大基數假設又具有某種覆蓋性質的內模型，成了現代集合論中最富挑戰性和最深刻的課題 。
