博雷爾集

博雷爾集

在數學中,一個博雷爾集是指在一個指定的拓撲空間中,可由其開集(或者等價地,可由其閉集)的可數次並運算、交運算和(或)差運算得到的一個集合。博雷爾集是由埃米爾·博雷爾的名字命名的。 對於一個拓撲空間X,其所有博雷爾集的全體構成一個σ-代數,稱為博雷爾代數或者博雷爾σ-代數。拓撲空間X上的博雷爾代數是X上包含其所有開集(或者等價地,所有閉集)的最小的σ-代數。 博雷爾集在測度論中有著重要的意義,因為任何空間上的開集(或者閉集)上定義的測度,必然可以將定義延拓到空間所有的博雷爾集上。定義在博雷爾集上的測度被稱為博雷爾測度。博雷爾集和相關的博雷爾分層在描述集合論中也起著基礎性的作用。 在某些語境下,博雷爾集被定義為是由拓撲空間中的緊集而不是開集生成的。兩個定義在很多良態的空間中是等價的,包括所有σ-緊的豪斯多夫空間,但是在具有病態性質的空間中兩者可能不同。

博雷爾代數

當X是一個度量空間時,博雷爾代數可以用如下生成的方法描述。

對於X的一族子集T(即X的冪集P(X)的任何子集),令

•T為T中元素的可數並的全體

•T為T中元素的可數交的全體

•T=(T).

現在利用超限歸納法定義如下的序列G,其中m是一個序數:

•對於初始的情況,定義

•G= X的所有開子集全體。

•如果i不是極限序數,那么i是i-1的後繼序數。令

•G= [G]

•如果i是極限序數,令

博雷爾集 博雷爾集

我們現在可以說博雷爾代數是G,其中ω是第一不可數序數,即勢為ℵ₁的序數集。這意味著博雷爾代數可以通過開集全體的疊代運算

博雷爾集 博雷爾集

至第一不可數序而生成。

為了證明這一點,首先注意到度量空間中的任何開集都是一列遞增緊集的並。特別地,易知對於任何極限序數m,集合的差運算將G映射到自身;而且,當m是不可數的極限序數時,G在可數並運算下是封閉的。

注意到對於每一個博雷爾集B,存在一個可數序數α使得B可以通過α多次疊代後得到。但是隨著B取遍所有博雷爾集,α也會相應地取遍所有可數序數,故而要得到所有博雷爾集所需的最靠前的序數是ω,即第一不可數序數。

例子

一個重要的例子,尤其是對於機率論而言,是實數集上的博雷爾代數。它是用來定義博雷爾測度的代數。對於機率空間上一個給定的實隨機變數,其機率分布按照定義,也是一個博雷爾代數上的測度。

實直線 R上的博雷爾代數是包含所有區間的最小σ-代數。

博雷爾集 博雷爾集

在利用超限歸納法構造時,可以證明在每一步中,集合的數量至多是連續統的冪。所有博雷爾集的總數不會多於。

非博雷爾集

下面描述了盧津給出的一個實數集上的子集不是博雷爾集的例子。與之形成對比的是,不可測集的例子是無法給出的,不過其存在性是可以證明的。

每一個無理數都有一個唯一的連分數表示

博雷爾集 博雷爾集
博雷爾集 博雷爾集
博雷爾集 博雷爾集
博雷爾集 博雷爾集
博雷爾集 博雷爾集

其中是一個整數,其餘的都是正整數。令A為對應序列的無理數組成的集合,而且其中的元素滿足下列性質:存在一個無限子序列使得序列中每一個元素都是下一個元素的因子。這個集合A不是博雷爾集。事實上,這個集合是一個解析集,進一步地,在解析集全體構成的類中是完備的。

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