半正定矩陣

對一般的矩陣來說，要把矩陣化成標準型才可以這樣說。一個矩陣是正定的是指該矩陣對應的實二次型f（x1,x2,...,xn）對任意的一組不全為零的實數c1,c2,...,cn都有f(c1,c2,...,cn)>0.

半正定矩陣概述

定義一個 × 的 埃爾米特矩陣 是 正定的若且唯若對於每個非零的復向量 ，都有 *Mz > 0，則稱M為 正定矩陣，其中z* 表示 的 共軛轉置。當 *Mz > 0弱化為 *Mz≥0時，稱 是 半正定矩陣由於 是 埃爾米特矩陣，經計算可知，對於任意的復 向量 ， *Mz必然是 實數，從而可以與0比較大小.

與 正定矩陣相對應，一個 × 的 埃爾米特矩陣 是 負定矩陣,若且唯若對非零的復 向量 都有： *Mz < 0.

具有 對稱矩陣A的二次型f=x'Ax

如果對任何 非零向量x，都有x'Ax≥0（或x’Ax≤0）成立，且有非零向量x0，使x0'Ax0=0，則稱f為半 正定（半負定）二次項，矩陣A稱為 （半 負定矩陣）

判定一個矩陣半正定

1、對於 半正定矩陣來說，相應的條件應改為所有的 主子式非負。 順序主子式非負並不能推出 矩陣是半 正定的。比如以下例子：

2、 半正定矩陣

定義：設A是 實對稱矩陣。如果對任意的實非零 列矩陣X有X *A*X≥0，就稱A為 半正定矩陣。

3、A∈Mn（K）是 半正定矩陣的充要條件是：A的所有 主子式大於或等於零。