切比雪夫方程

切比雪夫方程（英語：Chebyshevequation）是指二階線性常微分方程
(1-x^2){d^2y\overdx^2}-x{dy\overdx}+p^2y=0
其中p為一實常數。該方程是以俄羅斯數學家巴夫尼提·切比雪夫的名字命名的。
方程的解為冪級數
y=\sum_{n=0}^\inftya_nx^n
其中係數可通過以下遞推關係式計算：
a_{n+2}={(n-p)(n+p)\over(n+1)(n+2)}a_n.
級數在x\in[-1,1]上收斂（對遞推關係式套用比值審斂法可得）。
遞推關係的初值a0與a1可為任意值，由此可得微分方程不同的特解。通常初值可取為：
a0=1;a1=0，可得解
F(x)=1-\frac{p^2}{2!}x^2+\frac{(p-2)p^2(p+2)}{4!}x^4-\frac{(p-4)(p-2)p^2(p+2)(p+4)}{6!}x^6+\cdots
以及
a0=0;a1=1，可得解
G(x)=x-\frac{(p-1)(p+1)}{3!}x^3+\frac{(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}x^5-\cdots.
通解可表示為以上兩特解的任意線性組合。
當p為整數時，兩個函式中有一個為有限項：p為偶數時F為有限項，反之G為有限項。此時，那個為有限項的函式是一個p次多項式，並與p次切比雪夫多項式成比例：
T_p(x)=(-1)^{p/2}\F(x)\,（p為偶數）
T_p(x)=(-1)^{(p-1)/2}\p\G(x)\,（p為奇數）