分支過程:分支過程，是一種特殊的隨機過程，它是一組粒子的分裂或滅亡過程的 -百科知識中文網

詳解

一種特殊的隨機過程，它是一組粒子的分裂或滅亡過程的數學模型。例如，某種生物群中，每一母體（粒子）生育第二代（或不生育），第二代中每一母體又生育第三代……。以Zn表示此群體中第n代的個體數,{Zn,n=0,1,2,…}便是一分支過程。又如,原子反應中的中子數也構成分支過程。以下設Z0=1，見

。
離散時間的分支過程 設時間參數為n＝0,1,2，…，在分支過程理論中起重要作用的是分裂機率pk，它是任何一代的一個粒子分裂為 k個的機率(k=0,1,2,…)。其母函式（見機率分布）記為

。假設各個粒子的分裂是獨立進行的，這種分支過程{Zn}通常稱為高爾頓－沃森過程（簡稱G-W過程）,它是一個馬爾可夫鏈（見馬爾可夫過程）。
利用g(s)可求出有關{Zn}的下列諸量。若已知第n代的粒子數

,則下一代粒子數Zn+1=j的轉移機率為分支過程

中sj的係數。以gn(s)表Zn的母函式: 分支過程

。由於Z0=1,g0(s)=s；分支過程

從而可求出

中si的係數。Zn的均值EZn=mn,其中m=EZ1=g┡(1)。
關於Zn的極限性質有：

分支過程

通常還關心群體是否會絕種的問題。設 0<p0<p0+p1<1。以q表滅絕機率，即分支過程

。可以證明q是方程g(s)=s (0≤s≤1)的最小根。又 q=1,若 m≤1；q<1，若 m>1，這時還有分支過程

,亦即粒子有無限增多的危險。
G-W過程的一般化　設有m（≥2）種不同的粒子A1，A2,…Am,以分支過程

表第n代（或時刻n）的第k種粒子的個數，k=1,2,…,m,則分支過程

構成取值於m維格子點空間的馬爾可夫鏈。稱{Zn，n=0，1，2,…}為多種類G-W 過程。以

表Al中一個粒子分裂為Ak中jk個粒子(k=1,2,…,m)的機率。與上述g相仿，引進

分支過程 ,

可以類似地研究 {Zn}的轉移機率、Zn的分布以及第l種粒子滅絕的機率ql等等。

連續時間分支過程　設時間參數 t≥0連續,b(t)Δt表示在短時間(t,t+Δt)中發生一次分裂的機率，pk(t)表示一個粒子分裂為k個的機率(k =0,1,2,…)。若b(t)、pk(t)連續，b(t)>0，

,則在時刻t的粒子數Z(t)構成一連續時間馬爾可夫鏈，於是可利用後者的理論來研究{Z(t)}。若 b(t),pk(t)不依賴於t,則{Z(t)}是齊次的馬爾可夫鏈，這時可以得到許多類似於對 G-W 過程所得到的結果。

T. E.Harris,The Theory of Branching Processes,Springer-Verlag,Berlin,1965.
K.B.Ashreya and P.E.Ney，Branching Processes,Springer-Verlag,Berlin,1972.