概念
冪零變換(nilpotent transformation)是一類特殊的線性變換。設V是數域P上的線性空間，σ是V的線性變換。若存在自然數m，使σ =0，但σ ≠0，則σ稱為冪零變換，m稱為冪零指數。一個線性變換是冪零變換，若且唯若它的特徵多項式的根都是零；如果一個冪零變換可以對角化，則它一定是零變換。
線性變換
線性代數的重要概念之一。設σ是數域P上的線性空間V的一個變換。若對於V中的任意向量α，β與P中的任意數k，有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)，σ(kα)=kσ(α)，則稱σ是V的一個線性變換。設σ是線性空間V的一個變換，若對於V中任意向量α，有σ(α)=α，則σ是V的線性變換，稱為恆等變換，亦稱單位變換，記為I。若V的變換σ對於V中的任意向量α，有σ(α)=0，則σ是V的線性變換，稱為零變換，記為0。線性變換是歐氏幾何中的變換、解析幾何中的某些坐標變換、數學分析中的某些變數代換以及其他數學分支中某些類似的變換的抽象、概括與推廣。數域上線性空間的線性變換可以推廣為同一個域上的兩個不同線性空間的線性映射。線性變換不僅是線性代數的主要研究對象之一，也是數學中的一個重要的概念。近代數學中的許多分支的研究對象，如泛函分析中的線性運算元。同調代數中的模同態等都與線性變換有密切的聯繫。
線性空間
亦稱向量空間。它是線性代數的中心內容和基本概念之一。設V是一個非空集合，P是一個域。若：
1.在V中定義了一種運算，稱為加法，即對V中任意兩個元素α與β都按某一法則對應於V內惟一確定的一個元素α+β，稱為α與β的和。
2.在P與V的元素間定義了一種運算，稱為純量乘法(亦稱數量乘法)，即對V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法則對應V內惟一確定的一個元素kα，稱為k與α的積。
3.加法與純量乘法滿足以下條件：
1) α+β=β+α，對任意α，β∈V；
2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，對任意α，β，γ∈V；
3) 存在一個元素0∈V，對一切α∈V有α+0=α，元素0稱為V的零元；
4) 對任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β稱為α的負元素，記為-α；
5) 對P中單位元1，有1α=α(α∈V)；
6) 對任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα)；
7) 對任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα；
8) 對任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，
則稱V為域P上的一個線性空間，或向量空間。V中元素稱為向量，V的零元稱為零向量，P稱為線性空間的基域.當P是實數域時，V稱為實線性空間。當P是複數域時，V稱為複線性空間.例如，若V為三維幾何空間中全體向量(有向線段)構成的集合，P為實數域R，則V關於向量加法(即平行四邊形法則)和數與向量的乘法構成實數域R上的線性空間。又如，若V為數域P上全體m×n矩陣組成的集合M(P)，V的加法與純量乘法分別為矩陣的加法和數與矩陣的乘法，則M(P)是數域P上的線性空間。V中向量就是m×n矩陣。再如，域P上所有n元向量(a，a，…，a)構成的集合P對於加法：(a，a，…，a)+(b，b，…，b)=(a+b，a+b，…，a+b)與純量乘法：λ(a，a，…，a)=(λa，λa，…，λa)構成域P上的線性空間，稱為域P上n元向量空間。
線性代數
線性代數是現代數學的重要基礎之一， 主要處理線性關係問題，數學對象的關係用一次形式表達的就是線性關係。例如， 一次代數方程ax+b=c，對於變數x來說 就是線性的。中學數學中由若干個變數的一次代數方程聯繫的線性方程組求解就是線性代數的基本問題之一。線性代數主要 研究行列式、矩陣、線性方 程組、向量空間、線性變換和二次型等，矩陣是它的主要工具，形成了線性代數的核心內容。線性代數已是數學、物理、化學、工程、電 工技術、天文、運籌等學科必不可少的理論基礎與工具。 由於線性代數的理論很成熟， 一些複雜的非線性問題也可化為線性問題來求解，計算機輔助分析中的有限元法就是一個典型。有限元法把複雜產品的應力、應變的計算、 熱傳導計算等，都化為龐大 的線性代數方程組來求解， 這對於有高速電子計算機的今天是容易辦 到的，這使過去很難精確計算的大型工程問題得以解決。20世紀中葉，線性代數趨於抽象化，線性空間被視為域上的模，一般模論尤其環上的模，在代數、幾何與群表示論中有重要套用，也是研究同調代數、範疇論、代數拓撲的基礎。
線性代數從一般線性方程組出發，以行列式、矩陣及其代數運算、向量及其線 性關係 (線性相關，線性無關，線性組合 等)、秩等為工具討論了一般線性方程的四個問題： 解存在的充分必要條件； 有解時 解的個數; 有解時求解的方法；矛盾方程組的判定。加減法、代入法等經高斯推廣成為著名的高斯消元法，經改進在計算機上實現。從向量及其線性關係得到線性 (向量) 空間的概念，加入 “度量” 得到歐幾里得空間。討論了表現空間中向量間關 系的線性變換，線性變換通過基底轉化為矩陣表示，特別值得重視的是線性變換或矩陣的特徵值與特徵向量。
矩陣的初等變換 (與線性方程組緊密 聯繫)，矩陣的標準形 (如對角形，若當標 準形，有理標準形等)，矩陣的分解 (如上 下三角形分解，可勒斯基分解等)，特殊矩陣 (如正交陣與酉陣——相當於空間的直 角坐標變換、對稱陣與額爾米特陣——與 二次型緊密聯繫、反對稱陣、稀疏矩陣、 非負元素矩陣或稱斯瑪哈斯提陣——套用於機率論中馬爾可夫鏈、力學中彈性振動 的顫動性質) 等，組成線性代數的基本內容。現在還包括研究矩陣的微分與積分運 算，矩陣函式，多重線性映射和張量。
