伯納爾限度

隨機堆積有極限
如果你的手頭上有許多大小一樣的球體，不論是小到玻璃球，還是大到籃球，把它們擺放整齊總是一件有趣的事情。稍微動一下腦筋，你就會發現，當把這些球體裝進箱子裡時，總會有一種規律性的擺放方式，能讓箱子裡裝下最多的球，那就是球體與球體緊密接觸，三個球體會形成三角形的形狀，在一個平面形成無數個相鄰的三角形排列；多層堆積的情況也類似，讓相鄰的三個球體按照三角形擺放，就能最大程度地利用箱子空間，放入更多的球。
把等體積的球體整齊地放入箱子裡，最多能占據箱子的多大空間呢？連續地按照三角形方式堆放圓球，包括層與層之間的圓球也呈現三角形接觸，這樣每三個球之間就出現一個空洞。1611年，天文學家克卜勒推測，在這種圓球堆積結構中，圓球最多能夠占到總體積的74%。1998年，美國密西根州的托馬斯·海里斯教授利用計算機分析了5000種裝球的典型方式，證明克卜勒的猜測是對的。
當你胡亂地把圓球倒進箱子裡時，顯然圓球體積不可能占到箱子體積的74%，而是要比這個最大值小。會小到什麼程度呢？60%、70%能達到嗎？20世紀50年代，英國倫敦大學的伯納爾利用滾珠來研究這個“隨機堆積”的問題。他發現，無論他把滾珠胡亂地倒進箱子裡多少次，滾珠最多只占據了箱子總體積的64%！即使他把滾珠倒進去後，再使勁地搖晃箱子，都不能讓滾珠所占的體積突破這個限度，胡亂倒球時，絕對不會出現球占體積64%～74%之間的值，真是怪事！
從那以後，研究者們把這個裝球時出現的怪現象稱為“伯納爾限度”，但是無法解釋這個數值限度是怎么產生的。最近，兩位俄羅斯科學家對這個難題做出了一定程度的解答。
首先，他們在計算機上模擬了幾百種圓球的排列方式，得到了一個密度（即單位體積里的含球數）範圍。他們發現，再某些排列方式中，確實能出現突破伯納爾限度的情況，但這隻出現在箱子裡很小的局部位置，而整體上，箱子裡的圓球所占體積比例依然在伯納爾限度之下。
然後，他們針對那些局部位置進行了研究。他們把箱子裡的圓球分成4個一組的球群，了解球群的堆積狀況。他們發現，4個球的球群往往並不形成正四面體的模樣，而是形成扭曲的金字塔形狀，這顯然更浪費空間。
之後，他們又研究了含有更多圓球的球群。當研究越來越大的球群時，他們發現，一旦箱子內球的密度上升到伯納爾限度的過程中，所有的圓球都陸續參與到四面體形狀的球群結構中，沒有孤單聯絡的圓球了。在這個過程中，箱子局部的一些圓球在有限的空間範圍內形成了有秩序的排列，因此這個小空間中出現超過伯納爾限度的球體密度並不奇怪。
但是，箱子中不同位置的圓球是“各自為戰”的，在不同球群形成了自己小圈子的“和諧社會”的時候，箱子內整體上卻變得更加不“和諧”， 球群與球群之間卻產生了更大的空隙，伯納爾限度就出現了。
目前兩位科學家只是從數學上初步解釋了隨機堆積問題，他們還需要對伯納爾限度做更深入的研究。從數學上描述封閉空間中圓球的堆積狀態是非常有意義的，因為自然界中有許多非晶體物質，比如蜂蠟，還有人造的非晶體物質，比如玻璃，它們在凝固的時候沒有明確的凝固點，而是一邊降溫，一邊凝固。非晶體物質里的化學分子和箱子裡堆積的圓球很相似，因此解決了隨機堆積問題，就會對非晶體物質的性質有更好的理解。