二維流形幾何

二維流形幾何

流形的曲率可用一些量來表示,而這些量可以在流形自身上確定,特別,二維流形就是一個曲面,流形上的黎曼曲率就是高斯總曲率,正如高斯曲率一樣。

常曲率

二維流形幾何 (the geometries of 2-mani-folds)曲面上的常曲率幾何.先考慮一般n維流形M上的常曲率幾何的概念.若在流形M上的一個度量,使得對於任意二,yEM,有二的鄰域U與y的鄰域V以及一個保距同胚(簡稱保距))(U,y)=(V,y),則稱此度量為局部齊性的.稱M容許一個幾何結構,指的是M有一個完備的局部齊性度量.於是M的任何覆疊空間M繼承一個自然的度量,使得射影M-> M為局部保距.另一方面。

單連通流形

由辛格(Singer ,I. M.)的一個定理:在單連通流形上的一個局部齊性度量必定是齊性的,即它的保距群必定是可遷的.所以當X為M的泛覆疊空間時,M為X關於其某保距子群G的軌道空間M= X /G。因此可以認為X與它的保距群決定一個克萊因意義下的幾何,並稱M具有以X為模型的幾何.根據上述討論,考慮2維閉流形的情形,先看球面SZ. 3維歐氏空間R3的標準度量,誘導歲上曲率為1的齊性度量.因為歲->RP“有2倍覆疊,所以RP“上也有常曲率為1的度量.其次考慮環面T2,它可由歐氏平面經摺疊而得到,所以Tz上有曲率為。的局部齊性度量.由於7"-到克萊因瓶K上有2倍覆疊,所以K也有曲率為0的度量。

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