常曲率
二維流形幾何 (the geometries of 2-mani-folds)曲面上的常曲率幾何.先考慮一般n維流形M上的常曲率幾何的概念.若在流形M上的一個度量，使得對於任意二，yEM，有二的鄰域U與y的鄰域V以及一個保距同胚(簡稱保距))(U，y)=(V,y)，則稱此度量為局部齊性的.稱M容許一個幾何結構，指的是M有一個完備的局部齊性度量.於是M的任何覆疊空間M繼承一個自然的度量，使得射影M-> M為局部保距.另一方面。
單連通流形
由辛格(Singer ,I. M.)的一個定理:在單連通流形上的一個局部齊性度量必定是齊性的，即它的保距群必定是可遷的.所以當X為M的泛覆疊空間時，M為X關於其某保距子群G的軌道空間M= X /G。因此可以認為X與它的保距群決定一個克萊因意義下的幾何，並稱M具有以X為模型的幾何.根據上述討論，考慮2維閉流形的情形，先看球面SZ. 3維歐氏空間R3的標準度量，誘導歲上曲率為1的齊性度量.因為歲->RP“有2倍覆疊，所以RP“上也有常曲率為1的度量.其次考慮環面T2，它可由歐氏平面經摺疊而得到，所以Tz上有曲率為。的局部齊性度量.由於7"-到克萊因瓶K上有2倍覆疊，所以K也有曲率為0的度量。
