上元積年

上元積年是古代曆法中一般都設有曆元，作為推算的起點。隨著觀測越來越精密，一次同餘式的解也越來越困難，數學運算工作相當繁重，所得上元積年的數字也非常龐大。

推算歷史

中國推算上元積年的工作，首先是從西漢末年的劉歆開始的。劉歆的《三統曆》以19年為1章，81章為1統，3統為1元。經過1統即1,539年，朔旦、冬至又在同一天的夜半,但未回復到甲子日。經3統即4,617年才能回到原來的甲子日，這時年的乾支仍不能復原。《三統曆》又以135個朔望月(見月)為交食周期，稱為“朔望之會”。1統正好有141個朔望之會。所以交食也以1統為循環的大周期。這些都是以太初元年十一月甲子朔旦夜半為起點的。劉歆為了求得日月合璧、五星聯珠的條件，又設5,120個元、23,639,040年的大周期，這個大周期的起點稱作太極上元。太極上元到太初元年為143,127年。在劉歆之後,隨著交點月、近點月等周期的發現，曆法家又把這些因素也加入到理想的上元中去。

廢除

日、月、五星各有各的運動周期，並且有各自理想的起點，例如，太陽運動的冬至點，月亮運動的朔、近地點、黃白交點等等。從某一時刻測得的日、月、五星的位置離各自的起點都有一個差數。以各種周期和各相應的差數來推算上元積年，是一個整數論上的一次同餘式問題。隨著觀測越來越精密，一次同餘式的解也越來越困難，數學運算工作相當繁重，所得上元積年的數字也非常龐大。這樣,對於曆法工作就很少有實際意義,反而成了累贅。後經曹士?、楊忠輔等作嘗試性的改革以後，元代郭守敬在創製《授時曆》中廢除了上元積年。