性質
![三角形中線](/img/f/c62/nBnauM3XxUzN5EjM2MDN4kDNzQTM5ETM4ITMxADMwAzMxAzLzQzLwAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
1、三角形的三條中線都在三角形內。
2、三角形的三條中線長:
................_______
ma=(1/2)√2b^2+2c^2-a^2;
................_______
mb=(1/2)√2c^2+2a^2-b^2;
................_______
mc=(1/2)√2a^2+2b^2-c^2。
(ma,mb,mc分別為角A,B,C所對邊的中線長)
3、三角形的三條中線交於一點,該點叫做三角形的中心。
4、直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
5.三角形中線組成的三角形面積等於這個三角形面積的3/4。
證明
三角形中線組成的三角形面積等於這個三角形面積的3/4.給出一個△ABC.中線為CD,BF,AE.(如右圖)
解:連線DE並倍長到P.連線BP,FP,EF.
![1](/img/d/c4d/cGcq5CM0EzXxMTM3AjNwMTMyATO5MTM5YzM5ETNyQTNwAzMxAzLzEzLyMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
∵DE=EP,∠BEP=∠DEC,BE=EC.
∴△DEC≌△PEB(SAS).
∴CD=BP.S△DEC=S△PEB.
又∵DE平行且等於1/2AC,DE=EP.
∴EP平行且等於1/2AC.
即EP平行且等於AF.
∴四邊形AEPF為平行四邊形(對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形)
∴AE=FP.S△EFP=S△AEF.
這樣△ABC的三條中線CD,BF,AE就構成了△BFP.
∵BF為中線,平分△ABC面積.
∴S△BAF=S△BFC.
又∵EF為△BFC中線,平分△BFC面積.
∴S△BEF=S△EFC=1/4S△ABC.
又∵CD為△ABC中線,平分△ABC面積.
∴S△ADC=S△BDC.
又∵DE平分△BDC面積.
∴S△BDE=S△DEC=1/4S△ABC.
∴S△BEP=S△DEC=1/4S△ABC.
∵AE為△ABC中線,平分△ABC面積.
∴S△BAE=S△AEC.
又∵EF平分△AEC.
∴S△AEF=S△EFC.
∴S△AFE=S△EFP=1/4S△ABC
∵S△BFP=S△BEF+S△BEP+S△EFP
=1/4S△ABC+1/4 S△ABC+1/4 S△ABC
=3/4S△ABC
區別
“中心”與“重心”很容易弄混淆,“中心”只存在於正三角形,也就是等邊三角形當中。在等邊三角形中,其內心,外心,重心,垂心都在一個點上,於是稱之為中心。
如圖所示,BF,CD,AE分別為正三角形ABC的三條高,中線,角平分線,其交點P即為正三角形ABC的中心。