方式
至今可以用三種方式來談論幾何，第一種：古典的歐氏幾何，在其中考慮點、線、面、角、長度等以及它們之間的相互關係，而且這種方法對於非歐幾何也適用；第二種：微分幾何；第三種是克萊因意義下的幾何，即考慮空間X與其上的一個可遷變換群G，所謂幾何(X,G)，即考慮X在G之下的那些不變性。當然這三者只是立論不同而已，其內容有時是共通的。在這裡所論的幾何正是克萊因意義之下的幾何。由於流形M與它的泛覆疊空間X之間有相同的度量，所以為了討論流形M上的局部齊性度量，只須討論X上的齊性完備度量即可，其中G=Isom<X)，即X上的保距群，並假定G有子群H，使得軌道空間(流形)X/H是緊緻的(稱為(X,G)有緊商)。當然，瑟斯頓也注意到在閉3維流形的非平凡連通和之中，除了RP3 # RP3以外，均無上述意義下的幾何，因此他的工作中也包含一些幾何猜想，即他認為任何緊緻、可定向3維流形，當用其中一些互不相交的球面與環面去切，並在球面的切口處再補上3維球體以後，必然有幾何結構。這些猜測之中包含著著名的龐加萊猜想，但是看來要證實它們還須走漫長的道路。在3維流形上存在常曲率幾何，這是近年來由瑟斯頓發展起來的一個新的研究課題，它對於流形性質的研究具有重要的意義。
流形
流形是局部具有歐幾里得空間性質的空間，在數學中用於描述幾何形體。物理上，經典力學的相空間和構造廣義相對論的時空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實例。
n維流形的概念，在J.L.Lagrange的力學中已經初見端倪，十九世紀中期，已經知道n維Euclid空間是n個實變數的連續統，但是一般n維流形的概念是B.Riemann研究微分幾何學時引進的，他是用歸納法進行構造的。正如曲線的運動形成曲面一樣，n維流形是把無限多個（n-1）維流形按照一維流形方式放在一起而形成的。流形的拓撲結構的研究與其局部理論的研究是同時開始的，Riemann、E.Betti、H.Poincaré等人套用的是解析方法，但是，Poincaré為了擺脫這種方法的困難與不利之處，將n維流形定義為一種連通的拓撲空間，其中每一點都具有和n維Euclid空間同胚的鄰域，並對之進行研究，從而開闢了組合拓撲學的道路。
常曲率曲面
常曲率曲面有常高斯曲率曲面和常平均曲率曲面。一般常曲率曲面指的是常高斯曲率曲面。
一個高斯曲率在各點上均取相同值的曲面，我們稱這曲面為常高斯曲率的曲面。例如，平面就是一個常曲率k=0的曲面；球面則是一個具有常正曲率的曲面之例(但不是唯一的常正曲率曲面); 偽球則是具有常負曲率曲面之例(也非唯一的)。
常平均曲率曲面(surfaces with constant mean curvature)是一類重要的曲面，它是平均曲率H為常數的曲面。例如，球面是常平均曲率曲面，此外，將一橢圓在其平面內一條定直線l上滾動，其焦點所畫出的平面曲面C繞直線l旋轉所生成的旋轉曲面也是常平均曲率曲面。
幾何介紹
從測量學的實際問題發展起來的一個數學分支。歐幾里得空間(2維或3維)是實際感知空間的抽象 (見SPACE PERCEPTION)，它可以用代數方法 (以下要講到) 或者公理法來描述。歐幾里得幾何是研究歐幾里得空間中圖形在(1) 平移，(2) 旋轉，(3) 反射，(4)均勻 膨脹這四種變換之下的不變性算。在歐幾里得空間的公理系統中，最缺乏根據的是第五公設或者也叫做平行公理。在2維的情況下，這條公理說：兩直線相交，如果而且僅僅如果它們的方向不同。和其餘的公理不同，這條公理事先假設了空間在外延上是無窮的。試圖從其它公理推演出它或者用一條更直觀的更易被接受的等價公設來取代它的種種努力 (絕大多數作於1750—1830年)，結果是導致非歐幾里得幾何的觀念。例如，在雙曲幾何中，通過一點p的直線，只要與直線l的交角小於某個q角 (q的大小取決於點p到l的距離)， q就與l不相交。 在橢圓見何中， 任何兩條直線都相交 (並且，空間是有界的——例如：“空間”是球面，“直線”是大圓)。對此，上述的變換 (1) - (4) 已不再適用，特別是均勻膨脹已談不上。發現非歐幾里得幾何，其歷史重要性有兩個方面：它否定了康德 (Kant) 說的，我們關於空間的觀念是先驗的這種論點; 並且激勵了公理法的生長。
射影幾何研究的是圖形不僅在變換(1) - (4) 之下的不變性質，而且也在射影變換下的不變性算。在2維的情況下，射影變換就是從一點把一個平面投影到另一個平面。這種投影是在研究圓錐曲線時首次引入的，它可以把某個點或者某條線 “送到無窮遠”，所以，射影平面可以由歐幾里得空間加上在無窮遠處的一條線而得到。角度和距離不是射影的概念。仿射幾何是一種介乎歐幾里得幾何與射影幾何之間的幾何。
引進一個坐標系後，幾何的對象和命題可以用代數的術語表達。解析幾何是在取直線係為軸的坐標系中研究這種變換的。舉例來說，在平面的情況下，一條直線就是由其坐標 (xy )滿足方程ax+by+ c = 0的一切點所組成的; a ，b ，c ，是這條線的參數。在實踐中“解析幾何”通常用於比較初等的研究，代數幾何則用於比較高級的研究，在那裡，圖形是由代數方程給出的 (見ALGEBRA)。從代數的觀點來看，沒有什麼理由只局限於採用三個坐標，所以就有一種推廣：推廣到n維。另一種推廣是以複數或者其它合適的數學結構取代實數。這是近來 (從1945年起)特別受到關注的工作，其方法和概念完全是代數的。其出發點更多地是套用於數論而並非套用於幾何。
即使在不能採用均勻坐標系的場合下也可以用解析的方法。例如，地球表面上在兩極處不能定義經度。這是一個流形的實例，可以引進局部坐標系並以此來定義幾何的概念 (例如距離)。微分幾何就是這樣做的，在那裡，局部幾何可以逐點地變化。特別是黎曼幾何，它研究的 (n維)流形，在其上的每一點處給出一個度量(換句話說，就是給出一個距離的觀念)。按照廣義相對論，時一空組成一個四維流形，在其上有一個度量，它決定了在每點處 (在重力作用下) 的運動，而它又是取決於物資的分布的。
