微分幾何[數學分支學科之一]

簡介

微分幾何是運用微積分的理論研究空間的幾何性質的數學分支學科。

古典微分幾何研究三維空間中的曲線和曲面，而現代微分幾何開始研究更一般的空間----流形。

微分幾何與拓撲學等其他數學分支有緊密的聯繫，對物理學的發展也有重要影響。愛因斯坦的廣義相對論就以微分幾何中的黎曼幾何作為其重要的數學基礎。

歷史

起源

微分幾何的產生和發展是和微積分密切相連的。在這方面第一個做出貢獻的是瑞士數學家歐拉（L.Euler）。1736年他首先引進了平面曲線的內在坐標這一概念，即以曲線弧長這一幾何量作為曲線上點的坐標，從而開始了曲線的內在幾何的研究。十九世紀初，法國數學家蒙日（G. Monge）首先把微積分套用到曲線和曲面的研究中去，並於1807年出版了他的《分析在幾何學上的套用》一書，這是微分幾何最早的一本著作。在這些研究中，可以看到力學、物理學與工業的日益增長的要求是促進微分幾何發展的因素。

發展

1827年，德國數學家高斯發表了《關於曲面的一般研究》的著作，這在微分幾何的歷史上有重大的意義，它的理論奠定了曲面論的基礎。高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和根本性的內容，建立了曲面的內蘊幾何學。其主要思想是強調了曲面上只依賴於第一基本形式的一些性質，例如曲面上曲線的長度、兩條曲線的夾角、曲面上的某一區域的面積、測地線、測地曲率和總曲率等等。

1854年德國數學家黎曼（B. Riemann）在他的教授職稱論文（Habilitationsschrift）中將高斯的理論推廣到n維空間，這就是黎曼幾何的誕生。其後許多數學家，包括E. Beltrami， E. B. Christoffel，R. Lipschitz，L. Bianchi，T. Ricci開始沿著黎曼的思路進行研究。其中Bianchi是第一個將“微分幾何”作為書名的作者。

1870年德國數學家克萊因（Felix Klein）在德國埃爾朗根大學作就職演講時，闡述了他的《埃爾朗根綱領》，用變換群對已有的幾何學進行了分類。在《埃爾朗根綱領》發表後的半個世紀內，它成了幾何學的指導原理，推動了幾何學的發展，導致了射影微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立。特別是射影微分幾何起始於1878年阿爾方的學位論文，後來1906年起經以威爾辛斯基為代表的美國學派所發展，1916年起又經以富比尼為首的義大利學派所發展。在仿射微分幾何方面，布拉施克（W. Blaschke）也做出了決定性的工作。

整體微分幾何

法國數學家E·嘉當在微分幾何中強調聯絡的概念，建立了外微分的概念。這是整體微分幾何的奠基性的工作。隨後，中國數學家陳省身從外微分的觀點出發，推廣了曲面上的高斯-博內定理。從此微分幾何成為現代數學不可缺少的領域。

基本內容

微分幾何學以光滑曲線(曲面)作為研究對象，所以整個微分幾何學是由曲線的弧線長、曲線上一點的切線等概念展開的。既然微分幾何是研究一般曲線和一般曲面的有關性質，則平面曲線在一點的曲率和空間的曲線在一點的曲率等，就是微分幾何中重要的討論內容，而要計算曲線或曲面上每一點的曲率就要用到微分的方法。

微分幾何

在曲面上有兩條重要概念，就是曲面上的距離和角。比如，在曲面上由一點到另一點的路徑是無數的，但這兩點間最短的路徑只有一條，叫做從一點到另一點的測地線。在微分幾何里，要討論怎樣判定曲面上一條曲線是這個曲面的一條測地線，還要討論測地線的性質等。另外，討論曲面在每一點的曲率也是微分幾何的重要內容。在微分幾何中，為了討論任意曲線上每一點鄰域的性質，常常用所謂“活動標形的方法”。對任意曲線的“小範圍”性質的研究，還可以用拓撲變換把這條曲線“轉化”成初等曲線進行研究。

在微分幾何中，由於運用數學分析的理論，就可以在無限小的範圍內略去高階無窮小，一些複雜的依賴關係可以變成線性的，不均勻的過程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。

套用與影響

近代由於對高維空間的微分幾何和對曲線、曲面整體性質的研究，使微分幾何和拓撲學、變分學、李群理論等有了密切的關係，這些數學領域和微分幾何互相滲透，已成為現代數學的中心課題之一。

微分幾何在力學和一些工程技術問題方面有廣泛的套用，比如，在彈性薄殼結構方面，在機械的齒輪嚙合理論套用方面，都充分套用了微分幾何學的理論。

微分幾何學的研究對數學其他分支以及力學、物理學、工程學等的影響是不可估量的。如：偽球面上的幾何與非歐幾何有密切關係；測地線和力學、變分學、拓撲學等有著深刻的聯繫，是內容豐富的研究課題。這方面有以J.阿達馬、H.龐加萊等人為首的優異研究。極小曲面是和複變函數論、變分學、拓撲學關係極為深刻的研究領域，K.魏爾斯特拉斯、J.道格拉斯等人作出過卓越貢獻。

微分幾何學的研究工具大部分是微積分學。力學、物理學、天文學以及技術和工業的日益增長的要求則是微分幾何學發展的重要因素。儘管微分幾何學主要研究三維歐幾里得空間中的曲線、曲面的局部性質，但它形成了現代微分幾何學的基礎則是毋庸置疑的。因為依賴於圖形的直觀性及由它進行類推的方法，即使在今天也未失其重要性。