基本介紹
一階形式語言由以下部分構成。
(1)字元表
個體變元:,或者。
常元:。
函式符號:。
謂詞符號:。
特殊謂詞符號:=。
邏輯聯結詞:。
量詞:。
括弧:(,)。
(2)形成規則
①項的形成規則:
(i) 任一個體變元,任一常項變元c都是一個項。
(ii) 若是一個帶k個自變元的函詞,是項,則是一個項。
(iii)只有由定義(i)~(ii)歸納定義得到的字元串是項。
②公式的形成規則:
(i)若是一個帶k個自變元的函詞,是項,則是一個公式。
(ii)若p是一個帶k個自變元的謂詞,是項,則是一個公式。
(iii)若A,B是公式,則是公式。
(iv)若A是公式,是一個變元,則是公式。
(v)只有由(i)~(iv)歸納定義得到的字元串是公式。
(3)語句形成規則
如果公式A不含任何自由變元,則是A語句。上述結構構成一階語言。
(4)給定一階語言,是一個一階理論,如果它包括:
①謂詞演算的所有公理;
②一個中語句組成的集合,有窮或者無窮,它們構成非邏輯公理;
③謂詞演算的所有推理規則。
(5)中的一個語句A是理論的一個定理,如果A是(4)中的①或②語句,或者是以邏輯公理或非邏輯公理為前提,使用的推理規則得到的語句。
(6)中的一個結構(或稱模型)M由一個論域D及一階公式的變元的解釋V所組成的非空集合構成,記作:
對於項;
對於函詞;
對於謂詞,用或表示V的某一次(個)映射,如表示V的第k次(個)映射使p為假。
一階形式語言的研究有時被稱為一階邏輯,或者初等邏輯。它構成現代邏輯的大部分內容。但是,現代邏輯的奠基者如弗雷格、皮亞諾以及懷特海和羅素等人都提出過高階語言的問題。
高階邏輯比一階邏輯有更強的表達力。一階邏輯的“局限性定理”表明一階語言在表達資源上的限制。諸如有限性、可數性和良基性等許多中心數學概念都不能在任何一個一階語言中得到表達,自然數集、實數域以及歐幾里得空間等結構也都不能得到充分的描述。這些局限性定理沒有一個適用於高階語言,而且上述概念和結構也都有二階刻畫。二階和高階語言因此也有很強的表達力,幾乎和非形式的數學語言一樣強。結果,它們更難以研究,也更難以駕馭。
一階形式語言是目前套用最普遍的邏輯語言。但是,一階形式語言的語法生成能力有一定的局限性。它沒有部分量詞。在改進後即增加部分量詞符號和量詞運算功能後,它可以方便地表示亞里士多德三段論的改進形式:擴展的三段論(如果認為亞里士多德三段論包括部分量詞命題的話,也需要一階形式語言的改進)。
相關概念
一階形式語言相關重要概念定義如下:
一階命題變元的 解釋是對(項或謂詞或函詞)變元的一個賦值(實例化)。
有量詞約束的公式稱為 量化公式。
對一個量化公式(或),稱其子公式A是量詞(或)的 轄域。
在公式A中,一個變項如果出現在某個形如(或)的量詞的轄域中,或它就緊跟在∀(或∃)後面,則稱在A中的這處出現是 約束的。變項的非約束的出現,稱為 自由出現。
如果在A中有一處自由出現,則稱是A中的 自由變項。如果在A中的所有出現都是約束的,則是A中的 約束變項。
是形式化的,也是語法化的,即按照這些符號和句法規則可以或接近構成或驗證一個一階語言的證明系統 。