定義
ζ 函式 (ζ-function)是用來刻畫系統周期點性態的函式。設M是微分流形，f：M→M是可微映射，對m=1,2,...，記N=N(f)為f 的不動點數目。假設N0使得對任意x,y∈ ，x≠v，存在非負整數k滿足d(f (x),f (y))>e。
ζ函式 
ζ函式 ζ函式 ζ函式 如果f∈C (U,M)在緊緻不變集 U上擴張，則存在 的緊鄰域V U使得f在V中是正向可擴的。
集合S的基數記為#S。
定理及引理
定理1
緊緻光滑流形M上的擴張自映射f具有有理的ζ函式。
定理2
ζ函式 ζ函式 設M是光滑流形，f∈C (M,M)， 是緊緻集，f在上是擴張的，則ζ(t)是有理函式。
引理1
ζ函式 ζ函式 設f∈C (M,M)在緊緻集=上是擴張的，和r如定義3所述。則存在緊鄰域V和實數1
ζ函式 並且對任意x∈V，0
引理2
ζ函式 ζ函式 設W∈int V是=的緊鄰域，則對任意β>0，存在0
ζ函式 設e是f在V中的可擴常數。選取β滿足，選取α滿足0
ζ函式 選取p,...,p∈W使得
ζ函式 以P表示滿足以下條件的點y∈Δ的集合：從y出發的軌道可以β追蹤形狀如{p,p,p,...}的α偽軌。又以p'表示P在子空間Δ中的內點集。
引理3
ζ函式 ζ函式 
ζ函式 =。
公理A
公理A是在微分動力系統結構穩定性和Ω穩定性的研究中，由斯梅爾提出的一個基本條件。滿足公理A條件要求的系統被稱為公理A系統。設M是緊緻微分流形，f：M→M是微分同胚。涉及f的以下條件稱為公理A系統：
1.非遊蕩集Ω(f)具有雙曲結構；
2.周期點在非遊蕩集中稠密；
ζ函式 對M上的C向量場X來說，設φ是X導出的流，若Ω(φ)=F∪ ，同時滿足：
1.F是φ的有限個雙曲奇點的集合；
ζ函式 ζ函式 2. 是φ的雙曲不變集，而且φ的雙曲周期軌在 中稠；
ζ函式 3.F∩ =φ；
則稱φ為公理A流。
莫爾斯-斯梅爾系統以及安諾索夫系統都是公理A系統。斯梅爾正是在概括了這兩個系統及其他結構穩定系統後提出公理A條件的。公理A系統的遍歷性質及其非遊蕩集的結構等動力學性質的研究已取得豐富成果。
