分析
這種模型是一種出生-死亡過程，此隨機過程中的每一個狀態代表模型中人數的數目。因為模型的佇列長度無限且參與人數亦無限，故此狀態數目亦為無限。例如狀態0表示模型閒置、狀態1表示模型有一人在接受服務、狀態2表示模型有二人（一人正接受服務、一人在等候），如此類推。 此模型中，出生率（即加入佇列的速率）λ在各狀態中均相同，死亡率（即完成服務離開佇列的速率）μ亦在各狀態中相同（除了狀態0，因其不可能有人離開佇列）。故此，在任何狀態下，只有兩種事情可能發生：
有人加入佇列。如果模型在狀態k，它會以速率λ進入狀態k + 1
有人離開佇列。如果模型在狀態k（k不等於0），它會以速率μ進入狀態k − 1
由此可見，模型的隱定條件為λ < μ。如果死亡率小於出生率，則佇列中的平均人數為無限大，故此這種系統沒有平衡點。
佇列參數表示
λ：平均到達的顧客數（單位時間平均到達率，個/秒）
μ：平均服務的顧客數（服務率、離開率,個/秒），每客平均服務時間 T= 1/μ,
Lq:平均等待佇列長度（在佇列中排隊等待的顧客數）
Wq:每個顧客的平均等待時間，包括沒有排隊的顧客
L：系統中平均顧客數=正在被服務的顧客數+正在等待的顧客數
W：平均等待時間=平均等待時間+平均服務時間
ρ:平均利用率，一段相當長的時間內可測得 = λ/μ≤1
穩定狀態下的公式
定義
m/m/1則模型在狀態
的機率為
m/m/1由此，可給出各測量數值的公式：
整個系統的平均人數
：
m/m/1，且其變異（variance）為：（方差）
m/m/1一單位時間內系統完成服務的人數：
m/m/1在佇列中等候服務的人數：
m/m/1一人在系統中的平均逗留（等候+接受服務）時間：
m/m/1一人的平均等候時間：
m/m/1問題-求系統在任意時刻t的狀態n
系統中有n個顧客的機率Pn(t),它決定了系統運行的特徵。 穩定情況下，Pn(t)與t無關，Pn(t)=Pn; 狀態轉移平衡方程：轉入率=轉出率； 狀態i轉移到狀態i+1的轉移率λiPi; 狀態i+1轉移到狀態i的轉移率μi+1Pi+1; 狀態平衡方程：Rate In = Rate Out
0 u1P1= λ0P0
1 λ0P0+ u2P2= (λ1+ u1) P1
2 λ1P1+ u3P3= (λ2+ u2) P2
.... ....................... ................... N -1 λN -2PN -2+ uNPN= (λN -1+ uN -1) PN -1 N λN -1PN -1+ uN+1PN+1= (λN+ uN) PN .... ...................
求穩態狀態解
狀態：0: P1= (λ0 / u1) P0
狀態：1: P2= (λ1 / u2) P1+ (u1P1- λ0P0) / u2 = (λ1 / u2) P1+ (u1P1- u1P1) / u2 = (λ1 / u2) P1 =(λ1λ0/u2u1)P0
狀態：n-1: Pn= (λn -1 / un) Pn -1+ (un -1Pn -1- λn -2Pn -2) / un = (λn -1 / un) Pn -1+ (un -1Pn -1- un -1Pn -1) / un = (λn -1 / un) Pn -1 =(λn-1λn-2λn-3....λn0/un-1un-2un-3...u1)P0
狀態：n : Pn+1= (λn / un+1) Pn+ (unPn - λn -1Pn -1) / un+1 = (λn / un+1) Pn =(λnλn-1λn-2λn-3....λn0/unun-1un-2un-3...u1)P0
簡化過程
Let C = (λn-1λn-2λn-3....λn0/un-1un-2un-3...u1) then Pn = CnP0,Cn = （λ/u）^n = P^n 又∑Pi = 1，則 P0 = 1-ρ Pn = CnP0 = (1-ρ)ρ^n
M/M/1的系統對長
L = ∑n（1-ρ）ρ^n = ∑(nρ^n-ρ^n+1) 為變隊長極其機率的積之和 =ρ/（1-ρ） 或者 = λ/(u-λ)
排隊佇列長度期望值
Lq = ∑(n-1)Pn (第n個顧客到來時的對長為n-1,發生機率） =ρ^2/(1-ρ) 或者 = λ^2/u(u-λ)
舉例
可用M/M/1模型的例子眾多，例如只有一位員工的郵局，只有一佇列。客人進來，排隊、接受服務、離開。如果客人進來的數目符合 泊松過程，且服務時間是 指數分布，則可用M/M/1模擬，並算出平均佇列長度、不同等候時間的機率等。
M/M/1可一般化成為M/M/n模型，使可用時接受服務的人數為大於一。歷史上，M/M/n模型首先被用來模擬電話系統，因為荷蘭工程師Erlang發現客人打電話的速率符合 泊松過程，且通話時間是 指數分布，所以占用通訊線路的數目和等待接線的人數符合M/M/n模型。
