李群定義
- 兩個解析映射，乘法運算G \times G \rightarrow G，和逆映射G \rightarrow G滿足群公理，從而具有群結構。
- G為有限維實解析流形
同態和同構
G,H均為李群，二者之間的一個同態：f\,:G\rightarrow H為 群 並且是 解析映射 （事實上，可以證明這裡解析的條件堪需滿足連續即可）。顯然，兩個同態砄複合是同態。所有李群的 類 加上同態構成一個 範疇 。兩個李群之間存在一個 雙射 ，這個雙射及其逆射均為同態，就稱為同構。
數學家藉助計算機破解E8難題
2007年03月21日09:00 金羊網-新快報
新快報訊1887年發現的重大數學難題E8終被破解！來自世界各地的十八名頂尖數學家，3月19日雲集美國數學研究所，宣布這項讓學界興奮莫名的成就。
E8的運算量極龐大，假如全部寫在紙上，足可鋪滿整個曼哈頓。由馬里蘭大學數學授亞當斯帶領的數學家隊伍便花了四年時間破解其數學結構，他們先用兩年將程式寫入電腦，再花一年尋找擁有強大運算能力的超級電腦，最後由華盛頓大學的Sage以77小時運算出答案，成功繪畫出E8是一個有453060行與列的矩陣。
亞當斯形容此次壯舉恍若破解人類基因圖譜，不同的是後者只需一個GB貯存空間，E8卻要60GB。他相信E8有助解釋物理學上的一些難題，包括有助物理學家解釋宇宙。
E8難題
E8是十九世紀挪威數學家SophusLie發明的李群（LieGroup）例子之一，用以研究物件的對稱性，當中以E8最複雜，有人甚至說，需要取得數學博士學位才能明白其意思。
18名世界頂級數學家破解最複雜數學結構
作者: 來源: 新浪網 時間: 2007-03-21 10:14:23
台北時間20日訊息，據英國《泰晤士報》報導，18名世界頂級數學家憑藉他們不懈的努力，歷時四年，完成了世界上最複雜的數學結構之一“E8”的計算過程。如果在紙上列出整個計算過程所產生的數據，其所需用紙面積可以覆蓋整個曼哈頓。
“E8”困擾數學界長達120年
四年來，這18名科學家便一直將自己關在實驗室里，心思全部花在人類已知的一個最具吸引力的數學計算上。儘管E8的計算結果還無法立即得到套用，但普通人想要搞清楚它的來龍去脈可能還需要一名獲得數學博士的人的幫助。雖然事實如此，但這個數學家小組畢竟還是解決了困擾數學界長達120年，曾經一度被視為“一項不可能完成的任務”的數學難題。
E8是“李群”的一個實例。李群這一理論是19世紀挪威數學家索菲斯·李(Sophus Lie)提出來的，用於解釋對稱物體可隨意移動而保持形狀不變這一現象。舉一個相對簡單的例子，一個三維球體繞它的軸心旋轉時，無論從哪一個角度看，它的形狀都是不變的。而E8解釋的是57維物體的對稱性，其中的一個原因只有高級數學家才會知道——E8本身就具有248個維度。
馬里蘭大學數學教授、該研究項目負責人傑弗里·亞當斯(Jeffrey Adams)說：“它有點像人類基因工程，這一工程的的目的就是為了繪製包含一個人所有遺傳信息的DNA的圖譜。我們要做的就是‘繪製’E8的結構，展現其所有不同的表現形式。如果有人認為我們是一群瘋子，從一定程度上說，他們是對的。但這畢竟是最高層次的數學問題，也是我能夠想到的最有意思的事情。”
計算結果數據量可用MP3連續播放45天
E8計算過程中出現的一個主要問題便是，這個數學家小組的計算所產生的數據量是驚人的龐大。他們僅為計算機編制計算公式的程式就用去了2年時間。在接下來的第3年，他們又是要找到一台計算能力超強的計算機完成計算。最後，華盛頓大學的超級計算機“塞奇”(Sage)花了77個小時得出答案。
人類基因工程需要十億位元組的磁碟存儲空間，E8則需要600億位元組，如果將這些空間用於存儲MP3，可連續播放45天。雖然很少有跡象顯示E8有哪些實際上的套用，但亞當斯教授相信，它可能幫助物理學家解釋他們面臨的一些問題。E8原是物理學弦理論的產物。一些物理學家相信E8在解釋有關物質的理論中扮演著至關重要的角色。可能在未來的某一天，這一計算將幫助物理學家揭開宇宙的奧秘。
麻省理工學院數學教授大衛·沃甘(David Vogan)說：“這是一項龐大的工程，需要付出龐大的努力，但其中的樂趣也是無窮的。這就如同爬山一樣，爬到半山腰的人最終都想爬到山頂上去。能夠參加這么一項工作是一件樂事，同時也是一件幸事。”
E8計算過程
1.E8計算結果是一個矩陣，它擁有的行數和列數均為45.306萬。
2.很多科學項目需要處理大量的數據，但E8的計算是一個例外：要求輸入的數據量是很小的，但得出的答案本身就是龐大的，而且非常密集。
3.E8的根系統包含240個向量，這些向量均在一個8維空間之內。
來源：科學時報
E8的根系統圖
之一，由8維空間裡的240個向量組成。（圖片提供：MIT）
自從挪威數學家Sophus Lie於1887年發現E8數學結構群後，研究人員就一直試圖徹底了解這個由40多萬個行和列組成的數字矩陣表達的超級複雜結構。
現在，一個由18位數學家組成的國際專家組利用功能強大的超級計算機和編程技術，繪製出了E8的結構圖。這一成果可謂“數學中的人類基因組計畫”，有望促使幾何學、數論和弦理論等眾多領域產生突破性進展。該小組成員之一、美國麻省理工學院(MIT)數學教授David Vogan於3月19日在MIT正式宣布了這一發現。
領導該項目的美國馬里蘭大學數學家Jeffrey Adams表示：“與人類基因組計畫對生物學具有重要的基礎性意義但是卻不能立即研製出治療癌症的藥物一樣，E8結構圖也是至關重要的基礎研究，但它的影響和意義可能要過許多年才能真正為人所知。”
繪製E8結構圖
是一個更大項目——Lie群Atlas計畫的一部分。Lie群是對連續對稱物體的數學描述，這些物體包括圓錐、球體和它們在更高維度上的形式。數學家們很好地了解了Lie群中的許多形式，但E8是其中最複雜的一種。
正方形的對稱很容易理解，沿著對角線或者對邊中點連線都能實現正方形的對稱。這些對稱形成了一個Lie群，它僅包括擁有2個自由維度的成員。相應地，球體的表面是2維連續對稱的，因為它只有兩個方向的坐標(如地球的經度和緯度)。但對於空間來說，它能沿著3個軸(x軸、y軸、z軸)旋轉，因此Lie群是3維的。然而，我們無法繼續這樣用大腦想像出E8的結構，因為這種對稱代表的是57維的物體。而相應的Lie群則是異常龐大的248維。
正是由於這種超常的規模和複雜程度，完成計算E8的工作最終花費了超級計算機塞奇(Sage)77個小時，產生的檔案數據有60G，而人類基因組計畫還不到1G。如果把計算結果以小字型寫在紙上，將能鋪滿美國紐約的曼哈頓島。似乎一般家庭電腦的硬碟能夠存儲這些數據，但是要獲得這些數據，電腦的記憶體要有幾十個G，這遠遠超出了一般家用電腦的配置。
該運算過程非常複雜，需要計算機專家們擁有廣泛的經驗，既能夠開發新的數學技術，又能夠開發新的編程方法。儘管在運算過程中出現了無數的軟體和硬體問題，整個計算過程最終還是於2007年1月8日早上9點完成。
Atlas研究小組由來自歐洲和美國的18位科學家組成。美國國家科學基金會(NSF)通過美國數學協會資助了整個Atlas研究計畫，該計畫的目的在於確定所有Lie群的統一表達，其中E8的計算是重要的一步，它的完成表明Atlas小組的研究方向是正確的。
