點[數學概念]

點是最簡單的形，是幾何圖形最基本的組成部分。在空間中作為 1 個 0 維的對象。在其他領域中，點也作為討論的對象。 在歐氏幾何中，點是空間中只有位置，沒有大小的圖形。點是整個歐氏幾何的基礎。歐幾里得最初含糊地定義點作為"沒有部分的東西"。在二維歐氏空間中，1 個點被表示為 1 組有序數對。同樣的，在笛卡爾坐標系中，任意 1 個點都可以被精確地定位。 在現代數學語言中，任何集合的元素都叫作“點”，但與三維空間中的點可以沒有任何關係。

基本信息

• 中文名：點
• 英文名：point

• 別名：小數點
• 套用：數學、網路、計算機、英文等

定義無效

點是無法被定義的。試圖去定義點就會陷入重複定義、逆邏輯定義的深淵。點作為原始概念的同時也具有原始概念的性質。

在科學系統中總是要對概念下定義，而且一定會用一些已知的概念來定義新的概念，但概念的個數是有限的，又由第二條規則可知，下定義是不能惡性循環的，因此總有一些概念不能引用別的概念來定義，這樣概念叫做這個科學體系中的原始概念。

比如，把平行四邊形定義為兩組對邊分別平行的四邊形，因此就必須先對四邊形、平行以及對邊進行定義。定義四邊形時，應先對多邊形及邊進行定義，又必須先定義折線，故必須先要對點和直線進行定義。但是，在一般的初等幾何中，點和直線都無法再用已被定義過的概念進行定義，它們都是原始概念。在數學中，點、直線、平面、集合，空間、數、量等都是原始概念，但在其中有些是通過公理來直接描述的，雖然有些概念在中學課本中也有解釋，但這種解釋並不是定義。

點的含義

在幾何學、拓撲學以及數學的相關分支中，空間中的點用於描述給定空間中的 1 種特別的對象，在空間中有類似於體積、面積、長、寬、高的類似物。 1 個點是 1 個 0 維的對象。點作為最簡單的圖形概念，通常作為幾何學、物理學、矢量圖形和其他領域中最基本的組成部分。

點的歷史

在亞里斯多德的著作【論天體】第三冊中，已經提到數學中的點是沒有大小的，他依此來駁斥柏拉圖將數學的幾何形視為物理實體的構成要素（參見正多面體），並強調這與當時的數學定義相違背：數學的平面沒有厚度，所以不能構造物理實體。他論述說，如果數學平面有厚度，那么數學的線就要有寬度才能夠構成平面，而數學的點必須有大小才能構成線，但是在數學中已經明確定義數學的點是沒有大小的，因此柏拉圖的理論與數學相牴觸。從這裡，亞里斯多德陳述說，一個幾何物件只能分割成相同型態的幾何物件（而不會變成其它的東西）：平面只能分割成平面，而不能分割成線；線只能分割成線，不能分割成點；這樣的分割可以無限的進行，而不是像原子論者所說的，最後分割到原子（或是基本構成要素）就停止了。

因此，早在歐幾里得的【幾何原本】之前，數學中的點只用來標示位置的用法已經是共識。亞里斯多德提到點的時候，用的字是 στιγμὰς，是可見的點（spot），而歐幾里得則（小心翼翼的）採用另一個字 σημεῖόν，原意是“標示”（sign）：

σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.

這句話的意思是：點是沒有部分（μέρος）的東西。點沒有部分，所以也就沒有大小。這個論點來源自亞里斯多德的“部分－整體”理論（part–whole theory）：

"the parts are causes of the whole"（整體是由部分所構成的。）

【幾何原本】的阿拉伯文版，將 σημεῖόν 翻譯為 نقطة，意思回到亞里斯多德的可見點；拉丁文版則將 σημεῖόν 翻譯為 punctum，意思是被尖物刺成的小洞。

特殊的點

（內容待補充）

點[數學概念]

端點：1 條線段兩端上的點或1條射線一端上的點（即線段或射線的起點或終點）；

等分點：把 1 條線段平均分成若干條線段的點；

頂點：圖形的邊的公共點；

交點：兩條直線的公共點。

點的性質

不可定義性：定義無效；

確定性：任意 1 個點都可以用有序數對精確地定位；

唯一性：1 組有序數對能且只能定位 1 個點；

互異性：任意兩個點都是不同的對象。

1.

不可定義性

2.

確定性

3.

唯一性

4.

互異性

點到點的距離

點 A(x，y，z)到點 B(xyz)的距離為

點[數學概念]

位置關係

點和點

點和點重合；

點和點不重合。

1.

點和點重合；

2.

點和點不重合。

點[數學概念]

點和直線

點在直線上；

點在直線外。

1.

點在直線上；

2.

點在直線外。

點[數學概念]

點和平面

點在平面上；

點在平面外。

1.

點在平面上；

2.

點在平面外。

點[數學概念]

點的平移

點左右平移只影響橫坐標的變化，點上下平移只影響縱坐標的變化：

設點A的坐標為(x,y).

1若把點A向左平移k(k>0)個單位後,坐標變為(x-k,y);若把點A向右平移k個單位後,坐標則變為(x+k,y).

2.若把點A向上平移k(k>0)個單位後,坐標變為(x,y+k);若把點A向下平移k個單位後,坐標則變為(x,y-k).

點[數學概念]

3.若把點A先向左平移p個單位,再向上平移q個單位,坐標則變為(x-p,y+q).

點的對稱

點[數學概念]

點[數學概念]

點 A(x，y，z)關於點 B(xyz)的對稱點的坐標

點[數學概念]

點[數學概念]

點的旋轉

點[數學概念]

（內容待補充）

點 A(x，y，z)繞原點旋轉 n°後的位置特徵：

點 A(x，y，z)繞點 B(xyz)旋轉 n°後的位置特徵：

其他的點

點集拓撲中的點定義為拓撲空間中的集合的元素。

儘管點被看做幾何學和拓撲學中的基本概念，但是有些幾何和拓撲理論並不需要點的概念，例如非交換幾何和非點集拓撲，1 個"非點空間"不是作為 1 個集合來定義的，而是通過某種類似於函式空間的結構。（代數上的或邏輯上的連續函式代數或集合代數。）

錯誤理解

線段是由無限個點構成的，而線段的長度讓人們錯誤的認為點是有長度或者長度是無窮小。但這是嚴重錯誤的。因為這違背了測度論和點的基本屬性。 點的長度是 0 而不是無窮小。