背景
近年來，由於有效的數值模擬方法的不斷完善以及計算機計算能力的高速發展，許多在過去無法深入探討的複雜流動問題重新進入人們研究的視野。這其中，多介質流體的數值模擬已經引起了越來越多的人的關注。在實際計算中，不同的多介質流體的數值模擬存在著不同的困難。比如描述定常亞聲速流動的方程組是橢圓型的，而在另外的一些流動(如超聲速反應流動、高超聲速流動或者爆炸)中，方程組的雙曲型性質則起著決定性的作用。
自1983年Harten提出TVD格式以來，高解析度格式得到了蓬勃發展並且在實際計算中顯示了良好的效果，但這些工作主要是解決了Euler坐標系下的單介質問題。考慮到高解析度格式是建立在雙曲守恆律組基礎上的，而非定常多介質流體力學方程組也是雙曲型的，高解析度格式可用於多介質流體力學計算。
微分方程
20世紀以來，隨著大量的邊緣科學諸如電磁流體力學、化學流體力學、動力氣象學、海洋動力學、地下水動力學等等的產生和發展，也出現不少新型的微分方程（特別是方程組）。70年代隨著數學向化學和生物學的滲透，出現了大量的反應擴散方程。從“求通解”到“求解定解問題”數學家們首先發現微分方程有無窮個解。常微分方程的解會含有一個或多個任意常數，其個數就是方程的階數。偏微分方程的解會含有一個或多個任意函式，其個數隨方程的階數而定。命方程的解含有的任意元素（即任意常數或任意函式）作儘可能的變化，人們就可能得到方程所有的解，於是數學家就把這種含有任意元素的解稱為“通解”。在很長一段時間裡，人們致力於“求通解”。但是以下三種原因使得這種“求通解”的努力，逐漸被放棄。第一，能求得通解的方程顯然是很少的。在常微分方程方面，一階方程中可求得通解的，除了線性方程、可分離變數方程和用特殊方法變成這兩種方程的方程之外，為數是很小的。如果把求通解看作求微商及消去法的某一類逆運算，那么，也和熟知的逆運算一樣，它是帶試探性而沒有一定的規則的，甚至有時是不可能的（J.劉維爾首先證明黎卡提方程不可能求出通解），何況這種通解也是隨著其自由度的增多而增加其求解的難度的。第二，當人們要明確通解的意義的時候（在19世紀初葉分析奠基時期顯然會考慮到此問題）就會碰到嚴重的含糊不清之處，達布在他的教學中經常提醒大家注意這些困難。這主要發生在偏微分方程的研究中。第三，微分方程在物理學、力學中的重要套用，不在於求方程的任一解，而是求得滿足某些補充條件的解。A.-L.柯西認為這是放棄“求通解”的最重要的和決定性的原因。這些補充條件即定解條件。求方程滿足定解條件的解，稱之為求解定解問題。
定義
高解析度格式是求解具有間斷解的微分方程中構造的一種無振盪或基本無振盪的，且對激波解具有高解析度的差分格式。
發展概況
在二十世紀八十年代以前，人們已經對格式的性質進行了較深入的研究，嘗試了為消除數值振盪、改善激波解析度的各種措施，這些工作為八十年代高精度高解析度格式的研究和發展打下了基礎。
1983年Harten提出了TVD格式的概念，要求差分解滿足總變差不增的性質，在給出了判斷格式是否是TVD格式的一個充分性條件之後，他把一階精度的TVD格式套用於修改了通量的單個守恆律方程，在選擇了適當的修正量之後，使得所得到的新的差分格式對原守恆律方程是二階近似的。之後Harten把它推廣到了雙曲守恆律組的情況。儘管在守恆律組的情況下並不能嚴格證明它們的TVD性質，而只能證明在退化到線性方程時具有TVD性質，但在實際計算之中，Harten的二階TVD格式在計算激波間斷時具有較高的解析度，通常激波過渡區的寬度只占一到二個格線;能夠消除激波後的非物理的數值振盪;在解的單調變化的光滑區中，差分解能夠達到二階精度，只是在解的極值附近，由於差分解只具有一階精度，表現在數值解上，會出現峰值抹平的現象。在Harten工作的基礎上，八十年代出現了一系列的TVD格式，比較有代表性的有:1984年Sweby在七十年代Boris、Book和Van Leer工作的基礎上，採用通量限制技術構造的二階TVD格式；1987年Yee在Davis和Roe工作的基礎上進行了系統的研究和數值實踐，利用中心差分構造了具有對稱形式的Yee-Roe-Davis對稱型二階TVD格式。在TVD格式的基礎上，Chi-Wang Shu放鬆了對差分解總變差不增的要求，構造了總變差有界的TVB格式，理論上可以得到更高階(到15階)精度的格式。此外，1988年張涵信提出的NND格式實際上在單個守恆律情況下也是具有TVD性質，他在不同的時間離散建立了五種不同的顯式NND格式，可以證明其中的兩種分別等價於Harten的TVD格式和Osher-Chakravarthy的TVD格式，此後他又在1993年提出了NND格式的三階修正格式一一ENN格式。
在高精度高解析度格式的研究中，除了對TVD格式的研究之外，高階精度Godunov格式的發展也得到了廣泛的關注。Godunov格式是八十年代之前比較有代表性的激波捕捉法之一，但它有著比較明顯的缺點:求解局部的Riemann問題需要耗費較多的額外計算工作量;並且雖然差分解不出現非物理的數值振盪，但間斷面的解析度不高，通常要占用五個計算格線。七十年代末以來，發展了許多高階Godonov格式的研究，提高格式計算精度以改善對間斷的解析度。1979年Van Leer建立的二階Godunov格式(MUSCL)，標誌著高階Godunov格式研究的開始。隨後，1984年Collela和Woodward建立了三階Godunov格式(PPM )。1987年Harten, Engquist, Osher, Chakravarthy建立的基本無震盪格式(ENO)事實上也是一種高階精度的Godunov格式。在他們的工作之後，九十年代又出現了UENO、WENO等格式。
高解析度格式建立在雙曲守恆律組的基礎上，在實際計算中，特別是空氣動力學Euler坐標系下的單介質問題取得了很好的效果:在數值解激波具有很高的解析度，激波間斷的過渡區可以達到只有一、二個格線步長的寬度;激波的波前波後也不出現非物理的數值震盪;在光滑區數值解也有較高的精度。
基於非結構化格線的高解析度格式
對流項的中心差分離散或Galerkin有限元離散雖然具有較高的離散精度，但由於其未充分考慮到對流的上風影響效應，因此導出的離散方程具有某種程度的病態性質，即係數矩陣的嚴重非對稱性及非對角占優，因而往往導致震盪的數值解。簡單的一階迎風雖然可有效地消除數值振盪，但往往引入了過大的人工粘性。近年來發展起來的高解析度格式，如TVD, ENO是解決上述問題的有效方法。在高解析度格式中，通過引入與解的性質有關的限制因子Limner，使計算格式既具有較高的離散精度同時又避免解的高頻振盪。
