雅克比矩陣

雅克比矩陣，是一階偏導數以一定方式排列成的矩陣。

雅克比矩陣定義

任給一個n維向量X，其範數‖X‖是一個滿足下列三個條件的實數： （1） 對於任意向量X，‖X‖≥0，且‖X‖＝0óX＝0; （2） 對於任意實數λ及任意向量X，‖λX‖＝｜λ｜‖X‖； （3） 對於任意向量X和Y，‖X＋Y‖≤‖X‖＋‖Y‖； 對於這樣的,叫雅克比矩陣定義。

雅克比矩陣證實

關於這個的一般性證實稍微複雜點，現在就給你證實為什麼二維的dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立 證實：對於曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲邊四邊形ABCD，其中 A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),那么這個曲邊四邊形ABCD可以近似看成是微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)張成的。利用中值定理可知： (u+△u,v)-(u,v)=MDU (u,v+△v)-(u,v)=Ndv 這裡的M，N是偏導數的形式，不好打出，你可以自己算出來，很簡單的。 當變化量很小時，我們把(u+△u,v)-(u,v)近似看成dx(u,v)，(u,v+△v)-(u,v)看成dy(u,v)，所以， dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv 而其中的M*N恰好就是二維Jacobi行列式的展開形式。 由此題目得證。