定理敘述
貝西科維奇覆蓋定理
貝西科維奇覆蓋定理若 是 中的非退化（半徑為正數）閉球族，當中的球的半徑有有限上界，即
貝西科維奇覆蓋定理
貝西科維奇覆蓋定理
貝西科維奇覆蓋定理而A為當中的球的中心組成的集合。那么F中存在子集 ，每個 是可數多個互不相交的球的集合，而且
貝西科維奇覆蓋定理
貝西科維奇覆蓋定理其中 是一個僅依賴於n的常數。
證明
貝西科維奇覆蓋定理
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貝西科維奇覆蓋定理先假設A是有界集合。依次選取球 ，選擇 為 ，適合條件 。
貝西科維奇覆蓋定理
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貝西科維奇覆蓋定理若已選取 。令 。若 ，就停止；若否，選擇 為B，適合條件 。
球 B有以下性質：
貝西科維奇覆蓋定理（1）以B的選取方法可知，若j>i，則 。
貝西科維奇覆蓋定理（2）將全部球B的半徑縮至三分之一，從以上不等式，可證這些縮小的球 互不相交。
（3）若有可數無限多球B，因A有界，及縮小的球不交的性質，所以球B的半徑趨向0。
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貝西科維奇覆蓋定理（4） 。若B數目有限，則結果明顯；若數目是無限多，假如有 ，那么F中有球B(a,r)，而從上一性質知，對足夠大的j，有 ，與B的選取條件矛盾。
貝西科維奇覆蓋定理
貝西科維奇覆蓋定理對k> 1，估算B和多少個之前選擇的球B相交。先將這樣的B按半徑r分成兩組： 為第一組， 為第二組。
貝西科維奇覆蓋定理 貝西科維奇覆蓋定理
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貝西科維奇覆蓋定理 貝西科維奇覆蓋定理 貝西科維奇覆蓋定理對第一組的球 ，將其縮小成 後包含在 中。 之間互不相交，故總體積不超過 的體積。又因 ，因此 相對 的比例有一個下限，而這下限僅由維數n決定。所以第一組的球的數目有一個僅依賴於n的上限。
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貝西科維奇覆蓋定理 貝西科維奇覆蓋定理對第二組的球，任取其中兩個球 。考慮以 作頂點的三角形。因B,B都和B相交，又a不在 之內，故有不等式
貝西科維奇覆蓋定理
貝西科維奇覆蓋定理
貝西科維奇覆蓋定理繼而證出此三角形以a為頂點的角 ，不小於一常數。
將第二組各個的球的中心和a之間連成直線，則任意兩條直線之間在a的夾角不小於arccos(61/64)。a為中心的單位球面上，這些直線中任何兩條和球面的交點，其間的球面距離，等於直線間的夾角。直線間的夾角下限，就是交點間的球面距離下限。在單位球面上所能容納的這樣的點的數目，有一個只依賴維數n的上限，這也就是第二組球的數目上限。
B和之前的球相交的數目上限，是以上兩組的上限的和，於是這個上限只依賴於維數n。這個上限加1設為M。現在從 B開始依次把球放到子集G內。輪到B時，因為之前的球中最多有M-1個和B相交，因此在M個子集G中，必定有至少一個所包含的球都不和B相交，於是可以把B加進這個子集。這樣就得出了子集G，滿足條件
貝西科維奇覆蓋定理對一般的A，設
貝西科維奇覆蓋定理對每個正整數l，設
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貝西科維奇覆蓋定理將以上結果用到 和 上，得到子集 ，滿足條件
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貝西科維奇覆蓋定理 貝西科維奇覆蓋定理對 ，設 ，並設 。那么 的球互不相交，且有
貝西科維奇覆蓋定理因此定理得證。
參見
•維塔利覆蓋引理
