定義
在經典力學裡， 伯特蘭定理闡明，只有兩種位勢V可以給出閉合軌道：
1.平方反比有心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程表示為
2.徑向諧振子勢：
其中，r是徑向坐標，k是正值常數。假若物體從某位置移動，經過一段路徑後，又回到原先位置，則稱此路徑為 閉合軌道。
1687年，物理泰斗艾薩克·牛頓在巨著《自然哲學的數學原理》里發表的萬有引力定律，解釋了為什麼行星繞著太陽的公轉運動會遵守克卜勒定律。在這之後，許多科學家開始研究，當行星的運動稍許偏離了這軌道的時候，可能會發生的狀況？其中一個問題為：軌道是否仍舊是閉合的？但是，經過多年的探討，科學家都無法給出合理的解答。一直要等到1873年，法國數學家約瑟·伯特蘭發表伯特蘭定理，才正確地解析這問題。對於經典天體力學研究，這定理非常的重要；在宇宙遙遠的那一邊，萬有引力的性質是否仍舊保持不變？伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法，來測試萬有引力的平方反比性質。
在現代物理學裡，理論物理學家發現，由於廣義相對論效應，重力勢軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到，水星繞著太陽公轉的橢圓軌道，其近拱點呈緩慢進動狀態。所以，當涉及廣義相對論的領域，伯特蘭定理不成立。
平方反比力（克卜勒問題）
平方反比有心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程表示為
處於這種連心勢的粒子，其一般軌道方程寫為
其解答為軌道函式 ：
其中，e是橢圓軌道的離心率， 是相位差，是一個積分常數。
這是焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程。當 時，這軌道對應於圓形軌道； 當 時，這軌道是橢圓形軌道；當 時，這軌道是拋物線軌道；當 時，這軌道是雙曲線軌道。
離心率與粒子能量E的關係為
所以，當 時，這軌道是圓形軌道； 當 時，這軌道是橢圓形軌道；當 時，這軌道是拋物線軌道；當 時，這軌道是雙曲線軌道。
徑向諧振子
為了方便解析這問題，採用直角坐標 。勢能可以寫為
處於徑向諧振子位勢的粒子，其拉格朗日量 是
這粒子的拉格朗日方程為
其中， 是振動頻率。
常數k必須為正值；否則，粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程的解答為
其中， 、 、 分別為x、y、z方向的振幅， 、 、 分別為其相位
由於上述方程經過整整一周期 後，會重複自己，軌道解答 是閉合軌道。
牛頓旋轉軌道定理
牛頓旋轉軌道定理表明，對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子，假設再增添立方反比力於此粒子，只要因子 是有理數，則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程，增添的立方反比力 為
其中， 是粒子原本的角動量， 是粒子的質量。
所以， 。
由於 是有理數， 可以寫為分數 ；其中， 和 都是整數。對於這案例，增添立方反比力使得粒子完成 圈公轉的時間等於原本完成 圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理，因為，增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。
參閱
•二體問題
•三體問題
•克卜勒定律
•牛頓旋轉軌道定理
