基本介紹
考慮一個由公理構成的證明系統P,可以將P轉換為Q。這種轉換可能有多種目的,例如:
(1)P的公理不完全被另一個系統Q接受,需要建立P和Q公理的對應關係;
(2)P公理的域與Q的域並不相同(例如,自然數與超窮數的差別),需要轉換後才有效;
(3)P公理經過轉換後更有利於證明,等等。
這樣,這種轉換也稱為 解釋,它既包含P公理的轉換,即P公理解釋為Q公理,也可以對P公理的定義域進行解釋,以驗證P公理的有效性 。
![解釋性證明](/img/2/e00/nBnauM3XxEzN1kDOxMDOzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzgzL2MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/6/9f5/nBnauM3X4EjNxEDNwkTOzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5kzL4IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/6/9f5/nBnauM3X4EjNxEDNwkTOzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5kzL4IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/2/e00/nBnauM3XxEzN1kDOxMDOzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzgzL2MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/f/e63/nBnauM3XxQTNzAjM4kTNwMDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL5UzLxczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
定義1令P是命題集合,或其定義域,或參數測試樣例的集合, 是它的映射(另外的命題集合及其定義域或參數測試樣例), 是P的推論,如果存在 與 同構,則稱P具有 -解釋性證明,即
![解釋性證明](/img/7/8a2/nBnauM3X3gzMzADN4cDOzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3gzL1AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
是 解釋性證明,其中,G是同構算符。
式(1)如圖1所示。
![圖1](/img/3/0ec/nBnauM3XzUjNyAjN1AzN3MjM2UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczL3QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
可見解釋性證明是同構性證明(參見“同構證明方法”)的一種特例,它多伴有輸入自變元的調整變化作為附加條件。一個解釋性證明的實例是哥德爾對PA證明的功能解釋。另外的一種實例是歸結方法,它是通過自變元的反例輸入證明原命題的否定的不可證證明原命題。
![解釋性證明](/img/f/e63/nBnauM3XxQTNzAjM4kTNwMDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzL5UzLxczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/2/e00/nBnauM3XxEzN1kDOxMDOzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzgzL2MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/7/30a/nBnauM3X1YDNxgjM4IDOzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLygzL4AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/2/e00/nBnauM3XxEzN1kDOxMDOzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzgzL2MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/2/e00/nBnauM3XxEzN1kDOxMDOzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzgzL2MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
當式(1)中的P不是命題,而是自變元,這時 解釋P為 ,從而 ,其中Q是命題,這樣可以通過計算性的方法得到 ,並使 成為獨立的“模組”被其他證明所調用,也可以採用不同的算法得到不同的解釋。這種方法即構成“證明挖掘”(Proof Mining),或者“開放式證明”(Unwinding Proof)。這兩種稱呼,前者起源於G Kreisel,後者起源於D.Scott。
相關概念
同態與同構
![解釋性證明](/img/d/2aa/nBnauM3XxYTMzAjN2AzNzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczLzAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/3/fca/nBnauM3XwMjNzITM2ETM0YTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxEzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/a/347/nBnauM3X4ATMycDNzMjM0EDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzIzL1MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/c/df5/nBnauM3XwcTN2czMzETOzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxkzLxYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
設 和 是兩個同類型的代數系統(代數系統是集合及其運算構成的系統), 是一個映射,如果對於任意元 恆有
![解釋性證明](/img/c/90d/nBnauM3XzcDMyMzM2AzNzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczL4czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/5/4d8/nBnauM3X2MzN5UzM2MzNwIDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzczL4MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/d/2aa/nBnauM3XxYTMzAjN2AzNzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczLzAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/3/fca/nBnauM3XwMjNzITM2ETM0YTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxEzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/d/2aa/nBnauM3XxYTMzAjN2AzNzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczLzAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/3/fca/nBnauM3XwMjNzITM2ETM0YTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxEzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/3/3ef/nBnauM3XwMDOyUzN0cTMzEzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3EzLyUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/a/347/nBnauM3X4ATMycDNzMjM0EDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzIzL1MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/5/4d8/nBnauM3X2MzN5UzM2MzNwIDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzczL4MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/d/2aa/nBnauM3XxYTMzAjN2AzNzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczLzAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/3/fca/nBnauM3XwMjNzITM2ETM0YTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxEzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/d/2aa/nBnauM3XxYTMzAjN2AzNzYTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczLzAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/3/fca/nBnauM3XwMjNzITM2ETM0YTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxEzL4UzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![解釋性證明](/img/0/96c/nBnauM3XzQTN1EDMwUTN0YzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1UzLwAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
則稱 是 到 的一個 同態映射,並稱 和 同態,用 表示;如果 是一個雙射,則稱 是 到 的一個 同構映射, 與 同構,用 表示。
同態和同構是布爾巴基學派提出的重要概念,它是對於結構之間關係的描述。雖然同構概念提出較晚,但其意義是極其深遠的。同構不僅是數學的證明方法,也是基本的心理結構和人類思維的基本方式 。
同構性證明
在證明中對如式(3)、式(4)、式(5)任意一命題的運用是 同構證明方法:
![解釋性證明](/img/1/e27/nBnauM3X3QDO1UDOxIDNxUTN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyQzLyAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)