西爾維斯特方程

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西爾維斯特方程(Sylvester equation)是控制理論中的矩陣方程。

定義

西爾維斯特方程(Sylvester equation)是控制理論中的矩陣方程,形式如下:

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其中A、B及C是已知的矩陣,問題是要找出符合條件的X。其中所有矩陣的係數都是複數。為了要使方程成立,矩陣的行和列需要滿足一定條件,A和B都要是方陣,大小分別是n和m,而X和C要是n行m列的矩陣,n和m也可以相等,四個矩陣都是大小相同的方陣。

西爾維斯特方程有唯一解X的充份必要條件是A和-B沒有共同的特徵值。

AX+XB=C也可以視為是(可能無窮維中)巴拿赫空間中有界運算元的方程。此情形下,唯一解X的充份必要條件幾乎相同:唯一解X的充份必要條件是A和-B的譜互為不交集。

解的存在及唯一

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利用克羅內克積以及向量化量子,可以改寫西爾維斯特方程為

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其中 為 單位矩陣。在此形式下,可以將問題改為 維的線性系統。

命題

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假定複數的 矩陣 和 ,西爾維斯特方程針對任意 有唯一解,若且唯 若 和 沒有共同的特徵值。

證明

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考慮線性轉換 ,

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(i)假設 和 沒有共同的特徵值,則其特徵方程式 和 的最大公因式為 ,因此存在複數多項式 和 ,使得 。依照Cayley–Hamilton定理, ;因此 。令 為 的解,則 ,重複上述作法,可得 。因此依照秩-零化度定理, 是可逆的,因此針對所有的 都存在唯一的解 。

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(ii) 相對的,若假設 是 和 的共同特徵值,則 也是 的特徵值。存在非零向量 和 使得 以及 。選擇 使得 ,向量的元素是 的共軛複數,則 沒有解 ,因為複數的雙線性pairing ,等號的右邊為正值,而左側為零。

Roth消去法則

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假設二個大小分別為n和m的方陣A和B,以及大小為n乘m的矩陣C,則可以確認以下二個大小為n+m的方陣 和

是否彼此相似。這二個矩陣相似的條件是存在一矩陣X使得AX-XB=C,換句話說,X為西爾維斯特方程的解,這稱為 Roth消去法則(Roth's removal rule)。

可以用以下方式檢查,若AX-XB=C,則

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Roth消去法則無法延伸到巴拿赫空間中的無窮維有界運算元中。

數值解

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西爾維斯特方程數值解的經典算法是Bartels–Stewart算法,利用QR算法將矩陣 和矩陣 轉換為舒爾形式,再用逆向取代法求解三角矩陣。此算法若用LAPACK計算,或是GNU Octave的lyap函式計算,計算複雜度是 個數學運算。也可以參考其中的sylvester函式。在一些特定的影像處理套用中,西爾維斯特方程會有解析解。

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