螺旋運動[數學名詞]

螺旋運動(helicoidal motion)是一種空間變換，指空間中一個旋轉和一個移動方向與旋轉軸平行的平移變換之積。旋轉的軸也稱為螺旋運動的軸，旋轉的角也稱螺旋運動的角。螺旋運動是一種空間運動，其逆變換仍是螺旋運動。兩螺旋運動的積是一個螺旋運動。任意一個螺旋運動可以分解為兩個軸反射之積，這兩個軸反射的反射軸是異面直線。空間的螺旋運動分兩類，若用彎曲的右手指表示構成螺旋運動的“旋轉”方向時，伸直的拇指恰表示構成螺旋運動的“移動”方向，則稱該螺旋運動是右螺旋運動，否則稱為左螺旋運動。平移是旋轉角為零的螺旋運動，旋轉是平移距離為零的螺旋運動。當螺旋運動不是平移或旋轉時，沒有不動點，而軸是惟一的不動線，又假如螺旋運動的角不等於kπ(k∈Z)，則它也沒有不動面 。

基本概念

定義一

螺旋運動[數學名詞]

螺旋運動[數學名詞]

螺旋運動[數學名詞]

螺旋運動[數學名詞]

所謂螺旋運動，是指一個旋轉R和一個平移T的合成運動，平移沿著旋轉的軸。這兩個過程的順序無關重要(如果平移不是沿著旋轉的軸，情況就不同了)，換言之，設M為一點(如下圖)，沿軸D旋轉一個給定的角度至(這旋轉記作R)，再將平行於D作一確定的平移T到達新位置；如果先將M用平移T到達，再將繞軸D作旋轉R，那么依然來到同樣的位置。

螺旋運動

螺旋運動[數學名詞]

螺旋運動[數學名詞]

螺旋運動[數學名詞]

螺旋運動[數學名詞]

事實上，設m為兩點在軸上的公共射影，而為之射影，則圖形顯然可由圖形利用平移得出。那么前者就和後者一樣是一個等腰三角形，它的平面垂直於D而頂角等於R的轉幅，這就證明了斷言的正確性。

螺旋運動顯然包括旋轉(當平移T為零時)和平移(當旋轉R為零時)作為特殊情況。

備註：當我們已知一個螺旋運動時，在軸上就確定了一個正向，即平移的指向。因此，我們說一個螺旋運動是正的(或右手的)，或者反過來說是逆的(或左手的)，就看沿著平移的正向所作的旋轉是正的還是逆的 。

定義二

螺旋運動[數學名詞]

螺旋運動[數學名詞]

螺旋運動[數學名詞]

由繞軸 的旋轉和沿著 方向與旋轉角成比例的移動而合成的運動，稱為 螺旋運動(圖1)。軸 稱為 螺旋軸。

圖1

螺旋運動[數學名詞]

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若 是旋轉角( 螺旋角)而 是進給( 平移距離)，則有： 。

螺旋運動[數學名詞]

比例因子 ，稱為 螺旋參數。若順著移動方向觀察一個螺旋，當旋轉為順時針方向時，這個螺旋為 右螺旋，當旋轉為逆時針方向時，這個螺旋為 左螺旋。

可以用p的正負號來確定螺旋的方向：

螺旋運動[數學名詞]

：右螺旋，

螺旋運動[數學名詞]

：左螺旋。

定理1 螺旋運動由繞一條軸的旋轉和沿軸向與旋轉角成比例的移動而形成，它是由螺旋軸，螺旋參數和螺旋方向，(右螺旋或左螺旋)所確定的。

螺旋運動的基本作圖

螺旋運動[數學名詞]

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螺旋運動[數學名詞]

已知 點 和垂直於 的螺旋軸 的水平投影和正面投影，螺旋參數p和螺旋角 。

螺旋運動[數學名詞]

螺旋運動[數學名詞]

求作 從 轉過螺旋角 至P的這段螺旋軌跡的水平投影和正面投影。

螺旋運動[數學名詞]

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螺旋運動[數學名詞]

在水平投影中，螺旋運動投影為繞 旋轉 角的轉動： 。 在過 的連繫線上。並比 高出進給 的距離。這段距離 可以往參數圓(圓心為 ，半徑為p)上取對應於圓心角 的弧而作出。最好用儘可能短的弦求出這段弧長。 ·

螺旋運動[數學名詞]

轉過一個整圈 的平移距離 ，稱為螺旋的導程。由它可以按照

螺旋運動[數學名詞]

計算出螺旋參數。p也稱為 轉換導程。

螺旋體

幾何形體通過螺旋運動形成 螺旋體。

點通過螺旋運動形成作為軌跡曲線的 螺旋線( 軌跡螺旋線)；

曲線通過螺旋運動形成為運動曲面的 螺旋面；

曲面通過螺旋運動形成為包絡面的 螺旋面。

一切螺旋體都可自相旋合。由於這個緣故，它們在工程中得到套用。

螺旋線

螺旋運動[數學名詞]

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螺旋運動[數學名詞]

1. 以p為螺旋參數，當P點繞軸作螺旋運動時，其軌跡螺旋線b位於螺旋柱面 (以 為軸、半徑 的迴轉柱面)上。

螺旋運動[數學名詞]

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由於 ，所以在 展開後，b成為一條直線。因此，螺旋線b與 的各條素線e相交成定角 ，對此有

螺旋運動[數學名詞]

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於是b的切線對的每個法面 成定坡度。螺旋線b是 同坡線(對的每個法面而言)。

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2. 若將b的切線平移到上一點R處，則它們形成b的 準錐面 (頂點為R、軸線為和半張角為的迴轉錐面，圖2)。螺旋運動的兩個導圓中的“第一個導圓”，稱為螺旋線b的準圓。準圓平面在R“之下”的距離為p。

圖3

螺旋運動[數學名詞]

任一螺旋切線，都垂直於通過其切點P的螺旋柱面半徑。由此得出：

螺旋運動[數學名詞]

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螺旋運動[數學名詞]

螺旋切線平行於通過 準點P*的準錐面素線，P*在準圓上，與交點相差角(圖3)

螺旋運動[數學名詞]

定理2 每條螺旋線都是螺旋軸的各個法面的同坡線，也是常曲率空間曲線。它的密切平面和切線，都與螺旋軸構成相同的角 。

圖4