螺旋式歸納法

螺旋式歸納法是一種數學命題證明方法。常用在兩項及以上個數列通項公式或連續項大小比較的證明當中。

螺旋式歸納法

(1),A(1)成立;假設有兩個與自然數n有關的命題A(n)、B(n),如果滿足:

(2),假設A(K)成立能推出B(K)成立,又假設B(K)成立能推出A(K+1)也成立,那么,就能斷定對於任意的自然數n,A(n)和B(n)都成立。

證明:易知,將關於命題的兩個無窮序列A(1),A(2)…A(K),A(K+1)…和B(1),B(2)…B(K),B(K+1)…,然後施以第一數學歸納法證明。

註:這種螺旋式數學歸納法也可以適用於多個有關自然數命題的形式。

·例 數列{an}滿足a2m=3m2,a2m+1=3m(m+1)+1,其中m是自然數,令Sn表示數列{an}前n項和,求證:

·S2m-1=m/2(4m2-3m+1) (1)

·S2m=m/2(4m2+3m+1) (2)

·

·註:(1)可以看成命題中的A(m),(2)可看做命題中的B(m)

·證明:1)m=1,S1=1,等式(1)成立。

·

·2)假設m=k時,等式(1)成立,即S2k-1=k/2(4k2-3k+1),那么S2k=S2k-1+a2k=k/2(4k2-3k+1)+3k2=k/2(4k2+3k+1)

·則等式(2)也成立。這就是說,若A(K)成立,可推得B(K)成立。

·

·又假設B(K)成立,即S2k=k/2(4k2+3k+1),那S2k+1=S2k+a2k+1=k/2(4k2+3k+1)+3k(k+1)+1=(k+1)/2[4(k+1)2-3(k+1)+1]

·

·這就是說,若命題B(k)成立又能推出命題A(k+1)也成立,由1),2)可知,對於任意的自然數m,等式(1),(2)都成立。

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