內容簡介
本書的核心內容包括矩陣理論以及線性空間理論，分上、下兩冊出版，對應於兩個學期的教學內容．上冊系統地介紹線性代數與空間解析幾何的基本理論和方法，具體包括行列式、矩陣、幾何空間中的向量、向量空間Fn、線性空間、線性變換、二次型與二次曲面共7章內容．本書將空間解析幾何與線性代數密切地聯繫在一起，層次清晰，論證嚴謹，例題典型豐富，習題精練適中． 本書可作為高等院校理、工、經管等專業的教材及教學參考書，也可供自學讀者及有關科技人員參考．
前言
清華大學數學科學系“線性代數”教學團隊在近幾年教學實踐的基礎上，根據教師的教學經驗及在教學中遇到的問題、提出的意見和建議，對第1版中的部分內容作了調整，重新改寫了部分章節．
調整的內容主要體現在以下方面．在第1版中，數域概念安排在第5章引進抽象的線性空間時才提出，之前的討論涉及數的概念時，總是默認為大家熟悉的實數域或複數域．其實，這些概念在一般數域上也是成立的．這次，我們將數域概念作為預備知識放到最前面，使得討論的問題不僅僅局限於實數域或複數域．在第1版中，一般矩陣的相似對角化內容安排在下冊，考慮到部分專業的學生只選修一個學期的課程，為了保持教學內容的完整性，現將這部分內容從下冊調整到上冊．另外，作為代數中的一些非常基本的概念，如集合、映射、關係等（有的在中學已經學過），在第1版中它們是分散在各章中陸續地引入的．這次，我們將這些內容作為附錄較系統地集中介紹，供師生參考使用．改寫的內容主要是矩陣的秩以及子空間的直和分解這兩部分．希望這次改編的教材能更加適合教學．
感謝清華大學數學科學系“線性代數”教學團隊老師們的支持和幫助，歡迎廣大讀者批評指正．
作者2014年4月
目錄
預備知識
數域
第1章行列式
1.1n階行列式的定義
1.1.1二階行列式與三階行列式
1.1.2排列
1.1.3n階行列式的定義
1.2行列式的性質及套用
1.2.1行列式的性質
1.2.2用性質計算行列式的例題
1.3行列式的展開定理
1.3.1行列式的展開公式
1.3.2利用展開公式計算行列式的例題
1.4克萊姆法則及其套用
1.4.1克萊姆法則
1.4.2克萊姆法則的套用
習題1
第2章矩陣
2.1解線性方程組的高斯消元法
2.1.1線性方程組
2.1.2高斯消元法
2.1.3齊次線性方程組
2.2矩陣及其運算
2.2.1矩陣的概念
2.2.2矩陣的代數運算
2.2.3矩陣的轉置
2.3逆矩陣
2.3.1方陣乘積的行列式
2.3.2逆矩陣的概念與性質
2.3.3矩陣可逆的條件
2.4分塊矩陣
2.5矩陣的初等變換
2.5.1矩陣的初等變換和初等矩陣
2.5.2矩陣的相抵和相抵標準形
2.5.3用初等變換求逆矩陣
2.5.4分塊矩陣的初等變換
習題2
第3章幾何空間中的向量
3.1向量及其運算
3.1.1向量的基本概念
3.1.2向量的線性運算
3.1.3共線向量、共面向量
3.2仿射坐標系與直角坐標系
3.2.1仿射坐標系
3.2.2用坐標進行向量運算
3.2.3向量共線、共面的條件
3.2.4空間直角坐標系
3.3向量的數量積、向量積與混合積
3.3.1數量積及其套用
3.3.2向量積及其套用
3.3.3混合積及其套用
3.4平面與直線
3.4.1平面方程
3.4.2兩個平面的位置關係
3.4.3直線方程
3.4.4兩條直線的位置關係
3.4.5直線與平面的位置關係
3.5距離
3.5.1點到平面的距離
3.5.2點到直線的距離
3.5.3異面直線的距離
習題3
第4章向量空間Fn
4.1數域F上的n維向量空間
4.1.1n維向量及其運算
4.1.2向量空間Fn的定義和性質
4.2向量組的線性相關性
4.2.1線性相關的概念
4.2.2線性相關、線性無關的進一步討論
4.3向量組的秩
4.3.1向量組的線性表出
4.3.2極大線性無關組
4.3.3向量組的秩的概念及性質
4.4矩陣的秩
4.4.1矩陣秩的引入及計算
4.4.2秩的性質
4.5齊次線性方程組
4.5.1齊次線性方程組有非零解的充要條件
4.5.2基礎解系
4.6非齊次線性方程組
4.6.1非齊次線性方程組有解的條件
4.6.2非齊次線性方程組解的結構
習題4
第5章線性空間
5.1數域F上的線性空間
5.1.1線性空間的定義
5.1.2線性相關與線性無關
5.1.3基、維數和坐標
5.1.4過渡矩陣與坐標變換
5.2線性子空間
5.2.1線性子空間的概念
5.2.2子空間的交與和
5.2.3子空間的直和
5.3線性空間的同構
5.4歐幾里得空間
5.4.1內積
5.4.2標準正交基
5.4.3施密特正交化
5.4.4正交矩陣
5.4.5可逆矩陣的QR分解
5.4.6正交補與直和分解
習題5
第6章線性變換
6.1線性變換的定義和運算
6.1.1線性變換的定義和基本性質
6.1.2線性變換的運算
6.2線性變換的矩陣
6.2.1線性變換在一組基下的矩陣
6.2.2線性變換與矩陣的一一對應關係
6.2.3線性變換的乘積與矩陣乘積之間的對應
6.3線性變換的核與值域
6.3.1核與值域
6.3.2不變子空間
6.4特徵值與特徵向量
6.4.1特徵值與特徵向量的定義與性質
6.4.2特徵值與特徵向量的計算
6.4.3特徵多項式的基本性質
6.5相似矩陣
6.5.1線性變換在不同基下的矩陣
6.5.2矩陣的相似
6.5.3相似矩陣的性質
6.5.4矩陣的相似對角化
6.5.5實對稱矩陣和對角化
習題6
第7章二次型與二次曲面
7.1二次型
7.1.1二次型的定義
7.1.2矩陣的相合
7.2二次型的標準形
7.2.1主軸化方法
7.2.2配方法
7.2.3矩陣的初等變換法
7.3慣性定理和二次型的規範形
7.4實二次型的正定性
7.5曲面與方程
7.5.1球面方程
7.5.2母線與坐標軸平行的柱面方程
7.5.3繞坐標軸旋轉的旋轉面方程
7.5.4空間曲線的方程
7.6二次曲面的分類
7.6.1橢球面
7.6.2單葉雙曲面
7.6.3雙葉雙曲面
7.6.4錐面
7.6.5橢圓拋物面
7.6.6雙曲拋物面
7.6.7一般二次方程的化簡
習題7
附錄A集合與關係
附錄B集合的分類與等價關係
附錄C映射與代數系統
習題提示與答案
索引
