歐幾里得證明素數無限存在不周延情形
歐幾里得在《幾何原本》命題IX.20章節是這樣證明的：
命題為：預先給定幾個質數，那么有比它們更多的質數。
設：a、b、c是預先給定的質數。
求證：有比a、b、c更多的質數。
令：
作最大數DE，使它被a、b、c所測盡，在DE上增加單位DF，
那么：EF要么是質數，要么不是。
首先，令其為質數。
那么：質數a、b、c和EF被發現出來，多餘質數a、b、c
再令：EF不為質數。那么它被另外的質數所測盡，令其被g所測盡。
那么需要證明：g不等於a、b、c。
那么，因為a、b、c測盡DE，於是：g也測盡DE。而它也測盡EF。
於是：g便是測盡其餘值的數，即單位DF，這是荒謬的。
所以：g不等於a、b、c,且為質數。
於是：質數a、b、c和g被發現出來。多餘預先給定的質數a、b、c。
所以：預先給定幾個質數，那么有比它們更多的質數。
用現代數學表述為：
先假設質數的個數是有限多的，用p1，p2，……，pn表示，那么必然存在一個“最大的質數”，設這個“最大的質數”為pn。
找出從1到pn之間的所有質數，把它們連乘起來，就是：
2×3×5×7×11×13×……×pn，設為N
把這個連乘積再加上1，得到一個相當大的數M：
M=2×3×5×7×11×13×……×pn+1，即M=N+1；
那么這個M是質數還是合數呢？
如果M為質數，因M要大於p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設的全部素數的集合中。
如果M為合數，因為任何一個合數都可以分解為幾個素數的積；而N和M（N+1）的最大公約數是1，所以M不可能被p，p，……，p整除，所以該合數分解得到的素因數肯定不在假設的全部素數的集合中。
因此無論該數是素數還是合數，都意味著在假設的有限個素數之外還存在著其他素數。所以原先的假設不成立。也就是說，素數有無窮多個。
上述證明存在重大漏洞。理由：素數是有規律的和符合特定區間的。
有的數字研究論者認為，所有的自然數中的素數的分布並不遵循任何規律。並出現了“素數的頻率與一個複雜的函式密切相關”的黎曼假設。
查找素數，真無規律可循嗎？答案是否定的。
我們把自然數用 通項公式Sn=6a±1（a為自然數）進行“專門化”處理，規律便浮了出來：
| 1列 | 2列 | 3列 | 4列 | 5列 | 6列 |
| 0 | 1 | 2 | （3） | 4 | （5） |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 13 | ||||
| 17 | 19 | ||||
| 23 | 25 | ||||
| 29 | 31 | ||||
| 35 | 37 | ||||
| 41 | 43 | ||||
| 47 | 49 |
| 53 | 55 | ||||
| 59 | 61 | ||||
| 65 | 67 | ||||
| 71 | 73 | ||||
| 77 | 79 | ||||
| 83 | 85 | ||||
| 89 | 91 | ||||
| 95 | 97 |
……
對比大家已經找到的100以內的素數，無一漏網。
2、4、6列為偶數列，根本不會出現素數。5列是3或5的倍數，不會出現素數，因而可以判定，所有的素數均在上述兩數列，並可用通項公式Sn=6a±1（a為自然數）表示，該通項公式可以命名“ 含素數通項公式”。
在含素數通項公式Sn=6a±1（a為自然數）集合中，才可能是素數，超出該集合，均為合數。
在該集合中，自然還含有不少的合數。這些合數均由素數倍數組成，正是素數窒息的“兇手”。
上述兩證明均未考慮這種情況。
在Sn=6a-1（a為自然數）數列為
{5、11、17、23、29、35、41、47、53、59、65、71、77、83、89、95、……}
在Sn=6a+1（a為自然數）數列為
{7、13、19、25、31、37、43、49、55、61、67、73、79、85、91、97、……}
在第一種歐幾里得的證明中，EF,為質數還是合數，不是單一選擇題。不能被a、b、c測盡的數DF，並不一定必須是由另一質數測盡。
如EF選擇為1，7×11×13+1=1001+1=1002，是合數，能被不少數字測盡。
如EF選擇為,2，7×11×13+2=1001+2=1003（17×19），也是合數。
2×7×11+1=155+1=156。為合數。
2×7×11+2=155+2=157。為質數。
因而，歐幾里得的EF的取值，是不可任意選擇的，而是必須符合某種條件的。
因而，其證明是不嚴整的。
第二種證明中，2×3×5×7×11×13×……×pn，設為N
因乘積中，有乘數2，無論多大，均是偶數無疑。
其偶數加1，恆定的是得數為奇數，但奇數不一定是素數。
例如：2×3×5×7×11×13+1=5610+1=5611（31×181）
因而，N+1的M，是素數還是合數，是不確定的。
用這方法來證明素數無限，也是經不起推敲的。
結論：素數的乘積加1，既可能被其他素數整除，也可能被其他合數或偶數整除。
該數隻要不落在Sn=6a±1（a為自然數）集合中，就不能奢談素數絕對會出現。因而，證明是不周延的。
素數存在遞減趨勢
1、千分位統計，
1000內為168個，
10000起點時， 10000-10999 為106個，
100000位起點時， 100000-100999 為 81個，
1000000位起點時， 1000000-1000999為75個，
10000000位起點時， 10000000-10000999為61個，
100000000位起點時， 100000000-100000999為54個，
1000000000位起點時， 1000000000-1000000999為49個，
10000000000位起點時， 10000000000-10000000999為44個，
100000000000位起點時， 100000000000-100000000999為47個，
200000000000位起點時， 200000000000-200000000999為40個，
300000000000位起點時， 300000000000-300000000999為36個，
400000000000位起點時， 400000000000-400000000999為40個，
500000000000位起點時， 500000000000-500000000999為35個，
600000000000位起點時， 600000000000-600000000999為45個，
700000000000位起點時， 700000000000-700000000999為38個，
800000000000位起點時， 800000000000-800000000999為34個，
900000000000位起點時， 900000000000-900000000999為25個，
……
2、總量統計
百萬區間：
1------ -100萬以內 ，78498個
100萬-200萬以內，70435個，
200萬-300萬以內，67883個，
300萬-400萬以內，66330個，
400萬-500萬以內，65367個，
500萬-600萬以內，64336個，
600萬-700萬以內，63799個，
700萬-800萬以內，63129個，
800萬-900萬以內，62712個，
900萬-1000萬以內，62090個，
區間遞減數為：8063、2552、1553、963、1031、537、670、417、622.
億區間：
1億以內5761455個
2億內有5317482個
3億內有5173388個
4億內有5084011個
5億內有5019541個
6億內有4968836個
7億內有4928228個
8億內有4893248個
9億內有4863036個
10億內有4838319個
區間遞減數為：443973、144094、89377、64470、50705、40608、34980、30212、24717.
……
3、直觀觀察
Sn=6a-1
5 、11、17、23、29、35、 41 、
47、53、59、65、 71、77、 83 、
89、95、 101 、107、113、119、125、
131 、137、143、 149、155、161、 167 、
173、179、185、 191 、197……
9999803、9999809、9999815、9999821、9999827、9999833、9999829、
9999845、9999851、9999857、 9999863、9999869、9999875、9999881、
9999887、9999893、9999899、9999905、9999911、9999917、9999923、
9999929、9999935、9999941、9999947、9999953、9999959、9999965、
9999971、9999977、9999983、9999989……
（黑體為素數）
可見，素數的比重呈現遞減稀疏趨勢。
素數有窮盡窒息時
在 Sn=6a±1（a為自然數）兩數列中，素數5以每5個數出現一次，素數7以每7個數出現一次。
將數列排入數軸，個數以7為單位劃分，則在每個區間中，5和7的倍數均會出現一次（有時重複在同一位子），因每一個素數都以倍數形式在出現後重複出現並落入以7為單元的區間，其7區間的密度將越來越大，區間7個數面臨不夠分配情形。在達到某種密集度形成 閉合周期時，其後任何出現的區間數，均會被前面的素數倍數填充，以致再無冒出機會，出現素數窒息情形。這在理論上應是成立的。
並，哥德巴赫猜想的任何一個偶數都可以為兩個素數之和，因巨大偶數找不到兩個匹配素數相加，從而使哥德巴赫猜想陷入絕境。
