中文摘要
本文是關於阿拉伯數學家阿爾·卡西(〓，al-Kāshī，約1380-1429年)所著《算術之鑰》(〓，Miftāh al-hisāb，The key to Arithmetic，1427年)中代數學部分，即此書第五卷的研究。由於語言和史料等原因，至今國內外學者鮮有關於此內容全面和深入的研究。文中筆者首先詳細解讀《算術之鑰》中的代數學內容，隨後將其與早期阿拉伯數學著作及其它文明中的相關內容從算術化代數、高次開方法、“雙試錯法”和“百禽問題”四個主題進行研究。本文主要有三個方面的寫作意義：首先，筆者在阿拉伯原典文獻解讀的基礎之上，首次將《算術之鑰》中代數學部分以及與其相關的早期阿拉伯數學著作中的內容全面系統地呈現出來；其次，本文對《算術之鑰》代數學部分中四個主題的分析對於揭示此部分內容的來源及剖析阿拉伯中晚期代數學的發展脈絡均有非常重要的意義；最後，筆者在高次開方法、“雙試錯法”和“百禽問題”的研究過程中，嘗試性的進行了跨文明比較研究，這對於彌補傳統相關研究中缺失的部分環節有積極作用。 本文共分八章，各章要點如下： 第1章 緒論部分。介紹了阿拉伯數學史概況、本文選題背景及研究意義、阿拉伯數學史研究現狀及本文研究進路。 第2章 在前人研究的基礎上介紹了阿爾·卡西的生平及《算術之鑰》的早期版本信息，此外根據蒐集到的史料對近年來此書不同版本、研究文獻、研究論文進行了匯總與梳理。 第3章 詳細解讀了《算術之鑰》中代數學部分，即其第五卷的數學內容。 第4章 通過《算術之鑰》與薩馬瓦爾(〓，al-Samaw’al，約1130-約1180)《光輝代數》(〓，al-Bahir of algebra，約1149)兩書中算術化代數內容的比較研究，展現12至15世紀阿拉伯算術化代數的發展概況，可知這種源於方程化簡過程中的基本運算步驟及簡單的算術方法在阿拉伯數學家的努力下已經發展為一套完整的用於化簡方程的理論體系。阿爾·卡西在《算術之鑰》中對算術化代數在概念的表述、知識體系的理解以及具體算法方面都表現出與薩馬瓦爾《光輝代數》中相關內容的相似性，可以判斷阿爾·卡西書中的此部分內容延續了自12世紀以來的阿拉伯數學傳統，但在具體的語言表述和算法方面又有明顯的進步。 第5章 詳細解析《算術之鑰》中高次開方問題所涉及的一系列算法，並進行阿拉伯探源。此外將《算術之鑰》中的高次開方內容與中算相關算法進行比較，可見二者在論述、方法等方面都有顯著的不同。縱觀阿拉伯數學史，對於這些不同點，卡西都保留著自10至12世紀以來的阿拉伯數學傳統，可以判斷《算術之鑰》中的這些問題並沒有像傳統觀點所認為的那樣受到中國宋元數學的直接影響。 第6章 將《算術之鑰》中“雙試錯法”(〓，Hisabal-Khata’ayn)與早期阿拉伯數學家寇斯塔·伊本·魯伽(〓， Qusta ibn Luqa，820-912)、薩馬瓦爾和法雷西(〓，al-Farisi，約1260-約1320)著作中的類似算法從術文、證明等方面進行比較研究，得出阿爾·卡西的“雙試錯法”保留了自10世紀以來的阿拉伯數學傳統，同時進一步剖析了“雙試錯法”在此時期阿拉伯代數學中作用和地位的演變；此外，還將阿拉伯“雙試錯法”與其它文明中的相似算法進行比較。 第7章 將《算術之鑰》中的“百禽問題”與阿拉伯早期的阿布。卡米爾(〓，Abu Kamil，約850-約930)、薩馬瓦爾和法雷西著作中的相似問題從題目形式、問題本質及算法等方面進行了比較，得出阿爾·卡西與法雷西對“百禽問題”的認識可能是同源的。此外還研究了其它文明中的相關算題，從古代數學問題傳播和演化的角度看， “百禽問題”與“雙試錯法”有明顯的不同，這體現了古代數學文明在傳播發展過程中的多樣性特點。 第8章 結語
關鍵字
阿爾·卡西，算術之鑰，代數學，算術化代數，高次開方法， “雙試錯法”、“百禽問題”
