立體幾何[數學]

數學上，立體幾何(Solid geometry)是3維歐氏空間的幾何的傳統名稱—- 因為實際上這大致上就是我們生活的空間。一般作為平面幾何的後續課程。立體測繪(Stereometry)處理不同形體的體積的測量問題：圓柱，圓錐， 錐台， 球，稜柱， 楔， 瓶蓋等等。 畢達哥拉斯學派就處理過球和正多面體，但是稜錐，稜柱，圓錐和圓柱在柏拉圖學派著手處理之前人們所知甚少。尤得塞斯(Eudoxus)建立了它們的測量法，證明錐是等底等高的柱體積的三分之一，可能也是第一個證明球體積和其半徑的立方成正比的。

基本課題

課題內容

各種各樣的幾何立體圖形

包括：

- 面和線的重合

- 二面角和立體角

- 方塊，長方體，平行六面體

- 四面體和其他稜錐

- 稜柱

- 八面體，十二面體，二十面體

- 圓錐，圓柱

- 球

- 其他二次曲面：迴轉橢球，橢球，拋物面 ，雙曲面

公理：

立體幾何中有4個公理

公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。

公理2 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

公理4 平行於同一條直線的兩條直線平行。

常見立體圖形表面積和體積一覽表

名稱	符號	表面積S	體積V
正方體	a——邊長	S=6a²	V= a
長方體	a——長 b——寬 c——高	S=2ab+2bc+2ac	V=abc
稜柱	S——底面積 h——高		V=Sh
稜錐	S——底面積 h——高		V=1/3Sh
稜台	S1和S2——上、下底面積 h——高		立體幾何[數學]
圓柱	r——底面半徑 h——高	S=2πrh+2πr²	立體幾何[數學]
圓錐	r——底半徑 h------高 l ——母線	S=πrl+πr²	立體幾何[數學]
圓台	r——上底半徑 R——下底半徑 h——高 l-------母線	S=πr^2+πR^2+(2πr+2πR)L/2=π（r^2+R^2+rL+RL）	立體幾何[數學]
球體	r——半徑	S=4πr²	立體幾何[數學]
球缺	h——球缺高 r——球半徑 a——球缺底半徑 a^2=h(2r-h)		V=πh(3a^2+h^2)/6 =πh2(3r-h)/3
球檯	r1和r2——球檯上、下底半徑 h——高		V=πh[3(r1ˆ2+r2ˆ2)+hˆ2]/6
圓環體	R——環體半徑 D——環體直徑 r——環體截面半徑 d——環體截面直徑		V=2π^2Rr^2 =π^2Dd^2/4
桶狀體	D——桶腹直徑 d——桶底直徑 h——桶高		V=πh(2D^2+d2^)/12 （母線是圓弧形，圓心是桶的中心） V=πh(2D^2+Dd+3d^2/4)/15 （母線是拋物線形）

註：初學者會認為立體幾何很難，但只要打好基礎，立體幾何將會變得很容易。學好立體幾何最關鍵的就是建立起立體模型，把立體轉換為平面，運用平面知識來解決問題，立體幾何在高考中肯定會出現一道大題，所以學好立體是非常關鍵的。

三垂線定理

在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面的射影垂直。

1、三垂線定理描述的是PO(斜線)，AO(射影)，a(直線)之間的垂直關係。

2、a與PO可以相交，也可以異面。

3、三垂線定理的實質是平面的一條斜線和平面內的一條直線垂直的判定定理。

關於三垂線定理的套用，關鍵是找出平面(基準面)的垂線。至於射影則是由垂足，斜足來確定的，因而是第二位的。從三垂線定理的證明得到證明a⊥b的一個程式：一垂，二射，三證。即

幾何模型

第一，找平面(基準面)及平面垂線；

第二，找射影線，這時a，b便成平面上的一條直線與一條斜線；

第三，證明射影線與直線a垂直，從而得出a與b垂直。

註：

1.定理中四條線均針對同一平面而言；

2.套用定理關鍵是找"基準面"這個參照系。

用向量證明三垂線定理。

1.已知：PO，PA分別是平面a的垂線，斜線，OA是PA在a內的射影，b屬於a，且b垂直OA，求證：b垂直PA

證明：因為PO垂直a，所以PO垂直b，又因為OA垂直b 向量PA=（向量PO+向量OA）

所以向量PA乘以b=（向量PO+向量OA）乘以b=（向量PO 乘以 b） 加 （向量OA 乘以 b ）=O，

所以PA垂直b。

2.已知：PO，PA分別是平面a的垂線，斜線，OA是PA在a內的射影，b屬於a，且b垂直PA，求證：b垂直OA

證明：因為PO垂直a，所以PO垂直b，又因為PA垂直b， 向量OA=（向量PA-向量PO）

所以向量OA乘以b==（向量PA-向量PO）乘以b=（向量PA 乘以 b ）減 （向量PO 乘以 b ）=0，

所以OA垂直b。

3.已知三個平面OAB，OBC，OAC相交於一點O，角AOB=角BOC=角COA=60度，求交線OA於平面OBC所成的角。

向量OA=（向量OB+向量AB），O是內心，又因為AB=BC=CA，所以OA於平面OBC所成的角是30度。

二面角

定義

平面內的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角。（這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面）

平面角

以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直於棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

兩個平面垂直的定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。

大小範圍

範圍為：0≤θ≤π；

相交時 0a=kb m⊥n->ab=0 直線-平面 m//e->ac=0 m⊥e->a=kc 平面-平面 e//f->c=kd e⊥f->cd=0