附:
《分數階差分方程理論》目錄
第一章分數階差分及分數階和分的概念及其性質,萊布尼茲公式1
§1 整數階向後差分,整數階和分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
§2 分數階和分及分數階差分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
§3 分數差分及和分的性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
§4 下限不為零時的分數差分及和分,基本性質. . . . . . . . . . . . . . . 15
§5 另一類分數差分及分數和分,基本性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
§6 Caputo分數差分及簡單性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
§7 分數階差分運算元的萊布尼茲公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§7.1 幾個引理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
§7.2 萊布尼茲公式的推導. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
§7.3 多函式分數階差分及和分的萊布尼茲公式. . . . . . . . . . . . 43
第二章分數階和分及分數階差分的Z變換公式45
§1 Z變換概念,卷積的Z變換. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§2 關於正整數階向後差分的Z變換公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
§3 關於分數階差分及和分Z變換. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§4 Caputo分數差分的Z變換. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§5 關於序列分數差分的Z變換公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§6 特殊函式Λ(k, λn)和λα(n)的Z變換. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
§7 關於離散Mittag-Leffler函式的Z變換公式. . . . . . . . . . . . . . . . . 57
第三章分數階差分方程解的存在唯一性,解對初值的依賴性61
§1 三種類型的分數階差分方程柯西初值問題. . . . . . . . . . . . . . . . 61
§1.1 Riemann-Loiuville型分數差分的Cauchy型問題. . . . . . . . 61
§1.2 關於Caputo分數差分方程的存在唯一性問題. . . . . . . . . . 68
§1.3 序列分數階差分方程解的存在唯一性定理. . . . . . . . . . . . 70
§2 廣義Gronwall不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§3 解對初值的依賴性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
第四章顯示解分數差分方程的方法84
§1 具有R-L型分數差分的柯西初值問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
§2 具有Caputo型分數差分的柯西初值問題. . . . . . . . . . . . . . . . . 86
§3 具有序列分數差分的分數差分的柯西初值問題. . . . . . . . . . . . . 87
§4 分數階差分的變分與Euler-Lagrange方程. . . . . . . . . . . . . . . . 90
§4.1 最簡分數階差分的變分問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
§4.2 多個函式的分數差分變分問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
§4.3 整型約束條件下的分數階差分的變分與Lagrange乘數法則. . . 95
第五章用待定係數法解(2, q)階分數差分方程96
§1 有理(k, q)階分數差分方程定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
§2 特殊函式Λn(−μ, λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
§3 特徵方程為單根時的情形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
§4 特徵方程為重根時的情形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
第六章(k, q)分數階差分方程的Z變換方法求解105
§1 特殊函式λα(n)的Z變換. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
§2 Z變換方法解(2, q)階方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
§3 Z變換方法解(k, q)階方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
§4 分數差分方程化為常差分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
§5 分數和分方程的解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
第七章z變換法解線性常係數分數階差分方程123
§1 R-L型具有常係數的齊次方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
§2 R-L型具常數係數的非齊次方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
§3 R-L分數差分方程的柯西問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
§4 具有Caputo分數差分方程的Z變換方解法. . . . . . . . . . . . . . . . 132
§5 關於Caputo型分數差分非齊次方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
§6 Caputo分數差分方程的柯西問題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
§7 Z變換解分數階差分方程舉例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
第八章序列差分方程理論140
§1 一般mv階序列分數階線性差分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
§1.1 基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
§1.2 線性序列方程的通解結構. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
§2 有理(m, q)階序列差分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
§2.1 基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
§2.2 有理(2, q)階序列差分方程的解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
§2.3 有理(m, q)階序列差分方程的解. . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
§3 具常係數的線性mv階序列分數差分方程的解. . . . . . . . . . . . . . . 156
§3.1 通常的常係數向後差分方程解法回顧. . . . . . . . . . . . . . . 156
§3.2 常係數線性齊次mv階序列分數差分方程解法. . . . . . . . . . . 160
§3.3 序列mv階常係數線性非齊次分數階差分方程的解法. . . . . . . 162
§4 與常差分方程的一些比較. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
第九章分數階差分方程組(約當矩陣法) 176
§1 線性分數差分的方程組的一般理論. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
§2 有理(m, q)階分數差分方程組. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
§2.1 齊次方程的解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
§2.2 非齊次方程組的解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
§3 常係數線性分數差分方程組的解法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
§3.1 用Jordan矩陣理論求解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
§3.2 Mittage-Leffler矩陣函式求常係數情形下的通解. . . . . . . . . 195
第十章分數階Green函式198
§1 整數階向後差分方程的Green函式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
§2 分數Green函式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
§2.1 有理分數Green函式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
§2.2 一般序列分數差分方程的Green函式. . . . . . . . . . . . . . . 205
§3 離散分數Green函式舉例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
第十一章用Adomian分解法解線性分數階差分方程及方程組215
§1 Adomian分解法的思想. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
§2 具有兩項的常係數線性分數階差分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
§2.1 R-L型分數差分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
§2.2 Caputo型分數差分方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
§3 具有常係數的多項線性分數階差分方程的解析解. . . . . . . . . . . . . 219
§3.1 兩個分析上的引理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
§3.2 Caputo型m項常係數的分數差分方程. . . . . . . . . . . . . . . 220
§3.3 一些例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
§4 求解分數階差分方程組. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
§5 更一般些的線性分數差分方程組. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
§5.1 Caputo型線性分數差分方程組. . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
§5.2 Adomian分解級數的收斂性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
§5.3 多重Mittag-Leffler函式矩陣套用. . . . . . . . . . . . . . . . . 234
§5.4 一個例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
第十二章Weyl型分數階差分及分數階和分的概念及其性質,萊布尼茲公式237
§1 Weyl型分數和分的定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
§2 Weyl型分數差分的定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
§3 Weyl變換的代數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
§4 Weyl和分的萊布尼茨公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
§5 一些實例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
第十三章實變數的分數階差分方程244
§1 實變數整數階和分與整數階差分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
§2 實變數分數階和分與分數階差分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
§3 一些基本性質. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
§4 離散和分變換. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
§5 實變數分數階差分方程的求解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
§6 分數差分方程與分數微分方程之間的聯繫. . . . . . . . . . . . . . . . 274
參考文獻..................................280
後記..........................................283
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