碰撞問題
正文
若p個質點在時刻t1同時碰撞於一點,這就稱為在t1發生了p體碰撞。碰撞時刻 t1是多體運動方程的奇點。當時間趨於t1時，碰撞質點的相互距離趨於零，鑒於萬有引力與距離平方成反比,所以加速度趨於無窮大,微分方程在該點不再滿足解的存在及唯一性定理的條件。能否通過一定的變換消除這一奇點，碰撞以後天體如何運動,在碰撞時刻附近軌道的漸近表現如何,以及雖不發生碰撞但出現幾個質點彼此緊密接近，這時軌道的性質又如何，諸如此類都是碰撞問題所要討論和研究的。從理論上說，不消除碰撞奇點就不可能得到多體問題的全局解。實際工作也要求解決碰撞和緊密接近時軌道的計算問題。只要二體碰撞得到了詳盡研究,並適當選取參數,就可以毫無困難地把天體在碰撞前後的運動清楚地表示出來。兩個天體在相互引力的作用下，沿著一條近乎直線的軌道碰撞，然後就反彈回來。經過碰撞，這個系統的能量積分、動量矩積分和質量中心的運動狀態都保持不變。儘管碰撞時天體的加速度會無限增大，但是兩個天體之間的距離r和其中任何一個天體的速度v的平方之積rv2卻趨於一個確定的有限值。所以,二體碰撞奇點是非本質的，可以通過一定的變換予以消除。
研究二體以上的碰撞問題要困難得多，至今還有很多問題未弄清楚。但可以肯定，若要所有天體都同時碰撞於一點，則該系統的動量矩的三個分量必須全部為零。因此，在研究該系統的一般運動狀態時可避開這種情況。在三體問題的三體碰撞方面，有一些更為具體的研究成果。首先，如發生三體碰撞，三個質點必須始終保持在一個平面上。另外，它們只能組成等邊三角形或連成一直線。發生在碰撞奇點鄰近三體碰撞軌道的坐標的漸近表示式是形如項的線性組合。這些特徵指數λi中有一個取值為2/3,其他一般是無理數。這說明與二體碰撞奇點不同，三體碰撞奇點是本性奇點。松德曼對三體問題的碰撞奇點作了深入的研究。他首先適當選擇初始條件，以排除三體碰撞,然後引入一個變數ω代替t作自變數，以消去所有的二體碰撞奇點。他證明了三質點的坐標、它們相互間的距離以及時間 t都是ω的解析函式，因此能展開為它的收斂冪級數。而且這一點對於任何時刻都有效。松德曼級數是三體問題最重要的成果之一。
在N個天體（質點）組成的多體問題中,在某一時刻如果每個天體受到的引力都指向該系統的質心，並且引力的大小正比於該天體的質量和它到質心的距離，就稱這 N個天體組成的幾何形狀為中心構形。具有相似形狀的中心構形，都看成是同一類的。N個天體在趨於N體碰撞時，它們所組成的幾何形狀一定越來越接近於某類中心構形。如果這 N個天體組成的系統具有無窮多類中心構形,則在趨於N體碰撞時，就可能擺動於這些中心構形之間。
參考書目
C.L.Siegel and J.K.Moser,Lectures on Celestial Mechanics, Springer-Verlag,Berlin,1971.
