C-曲面
線把的C-曲面為點的軌跡，這些點都線上把內的半線上，且和線把內某一條選定的半線上某一個起點對應，線把內的半線都叫作這個C-曲面的軸。 三種類型的線把分別為：聚集線把，分散線把和平行線把。
聚集線把的C-曲面為與線把的中心有等距離的點的軌跡，這就是球面，它也可以看成一個圓周繞著它的直徑旋轉所成的曲面。
事實上，因為曲面上任意兩個對應點所在的半線相交於線把的中心，那么，它們和線把的中心等距離，曲面的直徑面截口上各點也和線把的中心等距離，故截口為一個圓，把這個圓繞直徑旋轉便得已知球面。
分散線把的C-曲面為與一平面等距離的點的軌跡，它和線把的底面重合，這曲面叫作等距曲面或叫作超球面。超球面為超圓繞著它的軸旋轉所成的曲面。
事實上，因為曲面上任意兩個對應點分別在分散線把的兩條半線上，那么，它們和線把的底面等距離。依同理，曲面的一切直徑面截口為超圓，且互相全等，一個超圓繞著它的軸旋轉便得超球面。
平行線把的C-曲面叫作渾球面或叫作極限球面，它是極限圓繞著它的軸旋轉所成的曲面。
事實上，極限球面的直徑面截口上的一切點，在直徑面上一個平行半線束里的半線上互相對應，故為一個極限圓。這極限圓繞著它的軸旋轉便得極限球面。
極限球面的直道線
極限球面
定義極限球面是羅巴切夫斯基空間中的一種曲面，它是由極限圓繞其一個軸旋轉而生成的。空間中的極限球面相當於平面上的極限圓，因此，極限球面亦可以定義為一種軌跡，過直線a上某點M在一定方向上向空間中所有與該直線平行直線引斜率相等的截線，截線端點的軌跡就是一極限球面，點M叫做極限球面之球心， 直線a叫做極限球面的軸。若已知軸a及軸上一點M，則極限球面便已確定。
極限球面又叫 極曲面。
定理1線把的C-曲面為點的軌跡，這些點都在 線把內的半線上，且和線把內某一條選定的半線上某一個起點對應，線把內的半線都叫作這個C-曲面的軸。
定理3平行線把的C-曲面叫作 渾球面或叫作 極限球面，它是極限圓繞著它的軸旋轉所成的曲面。
事實上，極限球面的直徑面截口上的一切點，在直徑面上一個平行半線束里的半線上互相對應，故為一個極限圓。這極限圓繞著它的軸旋轉便得極限球面。
定理4一切極限球面全等。
定理5經過極限球面上一點的平面，或者和它相切，或者和它相交於一圓或一極限圓。
極限球面上的直道線
極限球面上的絕對幾何學
我們的目的是要建立極限球面上的 內在幾何學，這在敘述羅巴切夫斯基幾何學進一步的發展時，是有極重要的意義的，我們在這裡要努力使建立這種幾何學的程式，儘可能地和建立平面幾何學的程式接近，正如在平面幾何學一樣，我們首先建立基本概念和起公理作用的基本命題，然後對由這些命題所得到的推論做一概述，但我們現在既然已經知道了極限球面在空間的性質，那么，和平面幾何學不同，極限球面上的幾何學的基本概念，將不是沒有定義的名詞，而將給以定義，同樣，它的基本命題也不是公理，而是羅巴切夫斯基空間幾何學的定理。
類似地，我們引進極限球面上的幾何學的基本概念。
1) 所謂“ 點”是指已知極限球面上的點。
2) 所謂極限球面的“直道線”是指它的直徑面截口，即屬於已知極限球面的極限圓。
3) 如果點在極限圓上，我們說點和直道線相關聯。
4) 如果在平面ABC上，極限球面的軸BB’介於兩軸AA'和CC’之間，我們說：在直道線ABC上，點B介於點A和點C之間。
5)所謂圖形的“運動”是僅指那些運動，當運動時，圖形的各點經常保留在已知的極限球面上。
相關性質
我們現在來列舉一些命題，在這裡即需指出，這些命題和平面幾何學的公理是相類似的。
1. 經過極限球面上兩個不相同的點，在這曲面上有一條且僅有一條直道線。 經過極限球面的任意兩點A，B有一個且僅有一個直徑面，而極限球面上的極限圓就是它和直徑面的交線。
2. 在每條直道線上最少有兩點。
3. 有不在同一直道線上的三點存在。
4. 同一直道線上三個不同的點之中，總有且僅有一點介於其他兩點之間。
5. 設A，B為兩個不同的點．則在直道線AB上，存在著無窮多點介於A和B之間，也存在著無窮多點，使點B介於點A和它們中任何一點之間。
6. 直道線上任何點O，劃分它上面其餘的點為兩類，使點O介於任何不同類的兩點之間，但不介於同類的兩點之間。
7. 極限球面上的直道線把它劃分為兩個凸區域。
8. 極限球面上兩個運動繼續舉行的結果，也是極限球面上的運動；又極限球面上每個運動的逆運動，也是極限球面上的運動。
9. 極限球面上的運動，把直道線段變為直道線段。這是很明顯的，因為經過運動之後，極限圓仍是極限圓，在它弧上的點仍留在弧上。
10. 在極限球面上，正如在其他每個C-曲面上一樣，極限球面在其自身上有移轉的自由。
11. 存在著這樣的運動，把直道線段AB變為直道線段BA。又把這兩個直道線段的夾角AOB，變為角BOA。
12. 如果把極限球面上有向直道線上各點，劃分為兩個戴德金特的類，那么，或者在第一類里有最後的點，或者在第二類里有最前的點。
極限球面上的弧和角
套用以上所述的這些命題，我們可以建立相等的概念，那是對於極限圓的弧段和在極限球面上同過一點的兩弧所成的夾角來說的，如果兩個弧段或兩個角經過運動後彼此疊合，我們便說 兩弧相等，或 兩角相等。通常的辦法，我們建立 補角和 對頂角的概念，並把極限球面上的圓定義為自極限球面上一點出發的等長極限圓弧的終點的軌跡，我們容易見到這樣定義的“極限球面上的圓”，對於外圍空間來說，也是一個圓。事實上，設在極限球面上，給定一段極限圓弧OM，那么，把這弧在極限球面上繞著點O而轉動，它畫成一個圓，這是依照極限球面的內在幾何學的意義來說的，但點M的運動，同時也是它繞著極限球軸OO'的轉動，由於這樣的運動，它顯然也畫出一個圓。這是依照外圍空間的幾何意義來說的。
由平面幾何學中關於相等的角和全等三角形的定理，我們可以得到關於極限圓弧所作成的角和三角形的相等關係的定理。
取不相等的極限圓弧，或極限圓弧所夾的不相等的角，把一個放在另一個之上，我們也像在平面幾何學裡比較不相等的線段和角一樣，可以確定它們孰大孰小，因以得到關於不等式的定理，這和平面幾何學裡對應的定理完全類似。特別的例子有，如極限圓弧所作成的三角形，我們得到它的每邊小於其他兩邊之和的定理，由此定理又可推得：極限球面的直道線同時也是極限球面上聯結兩點的所有曲線中最短的曲線。
最後，與平面幾何學裡所建立的關於線段和角的測度理論完全相仿，我們建立極限圓弧和這些弧所夾的角的測度理論。
定理6如果每一極限圓弧段取得正數，令：1)相等的弧段取同一個數；2) 弧段的和所取的數，等於被加弧段所取的數之和，那么，對於所有的弧段，這個數等於用某個弧段單位去測量它們所得的長度。
定理7如果每一為兩個極限圓弧所夾的角，取得正數，令：1)相等角取得同一個數，2)兩角之和所取的數，等於被加角所取的數之和，那么，任何角所取的數，等於用某個定角為單位去測量它所得的角量。
這兩條定理可以用來比較在極限球面上內在幾何學裡測度的結果，和在外圍空間的幾何學裡對於同一量的測度結果。
極限圓的弧長正如其他一切曲線的弧長一樣，可以看作折線的周長的極限，其折線的每段都為直線而內接於該弧，用這方法，每段極限圓弧可用一個數表示，此數顯然適合定理1的條件1) 和2)，由此推得：
如果把極限圓的弧長定義為它的內接折線的周長的極限，並令某段弧AB的長等於1，那么，在極限球面的內在幾何學裡任意另一段的弧長，等於以弧AB 為長的單位來測量該弧所得的結果。
同樣地，在外圍空間兩條曲線所成之角，便是它們在交點的切線所成的夾角，把這個角的定義施用於相交的極限圓，我們對於每個這樣的角，用一個數來代表，這個數適合定理2的條件1) 和2)，由此推得:
如果把兩個相交極限圓弧OA，OB 的切線的夾角取為角的單位，那么，在極限球面的內在幾何學裡，用兩弧OA，OB 的夾角AOB 為單位，來量任何其他兩個極限圓弧的夾角所得的結果，和它們的切線的夾角相同。換句話說，在極限球面的內在幾何學裡，兩個極限圓的夾角，便是在它們交點和極限圓相切的兩條直線所夾的角。
極限球面上的平行理論
13. 經過極限球面上不屬於直道線CD的點A，只能作一條直道線AP，直道線CD不相交。
和平行公理比較，我們可見在極限球面的內在幾何學裡，這條基本命題，可從歐幾里得幾何學的平行公理得來，如果把這公理的“直線”這個名詞改為“直道線”，把“平面”改為“極限球面”的話。
現在檢閱極限球面的內在幾何學中所有13條基本命題，它們都可由歐幾里得平面幾何學公理得來，只需把“直線”這個名詞改為“直道線”，把“平面”改為“極限球面”便成，因此，歐幾里得平面幾何學中所有的定理，在極限球面的內在幾何學中依然成立，只需把其中的“直線”改為“直道線”，把其中的“平面”改 為“ 極限球面”。
換句話說，極限球面的內在幾何學和歐幾里得平面幾何學的差別，只在兩個基本概念有不同的名稱。
這個著名的事實也是羅巴切夫斯基本人所發現的，並且對於非歐幾里得幾何學的建立，起了很重要的作用，這首先表示：如果根據任何理由，通使我們認為歐幾里得公設對於平面幾何學是不正確的，那么，這並非意味著歐幾里得所建立的幾何學失去了它的意義，它依然可以成立，不過不是在平面上，而是在極限球面上。
利用歐幾里得公理系統現成的結果，我們得到一系列的事實，這些事實不但對於極限球面的研究是重要的，而且對於所有有關羅巴切夫斯基空間的研究，也同樣重要。
從這些事實中我們提出下面幾條:
1. 在極限球面上三個極限圓弧所圍成的三角形，它的各內角之和等於兩直角。
2.在極限球面上分別為極限圓弧所圍成的兩個三角形，稱為彼此相似，如果它們的對應角相等，對應邊成比例。
我們可以斷定，在極限球面上，有彼此相似同時不相等的三角形存在，因為對於歐兒里得平面上的直線三角形，相對應的結果是成立的。
3.在極限球面上，組成三角形的極限圓的弧長與角間的關係，和在歐幾里得平面上直線：三角形的邊與角的關係相同。換句話說，歐幾里得平面三角形中所有的關係式對於極限球面上的弧三角形都成立。
圖1這個情形特別重要，因為它使我們可以給出在羅巴切夫斯基空間直線角的三角函式的幾何定義。我們考慮半線OA，OB的夾角(圖1)，經過它的頂點O，作它的平面的垂線OO'，經過點O，且以OO'為軸，作極限球面Ω，在這個極限球面上，作極限圓OA和OB分別和OA和OB相切，又過點B作極限圓BA使弧OA和AB所夾的角為直角，各弧OA，AB，OB的比值，和點B的選擇無關，因為在同一的頂角O，任意其他一個直角三角形OA'B'都和三角形OAB相似，然後，我們用通常方式，引入角AOB的三角函式的定義，得
直道線4.設在平面P 上給定一個圓，點C為圓心，CA 為半徑(圓2)，在點C作平面P的垂線CC'。過圓上點A作直線AA'和半線CC'平行，又在半線CC' 的延長線上求得點A 的對應點C。在平面CC'A' 上，經過點C，且以CC' 為軸的極限圓，應當經過圓周上的點A，因為點A 和點C是對應點，再把這極限圓繞著軸CC'旋轉，我們得到一個極限球面Ω，而所給的圓在這球面上，並且它在極限球面上的圓心為點C，半徑為極限圓弧CA。
圖2
直道線因此，每個圓都在某個極限球面上，且具有完全確定的極限圓弧半徑。套用歐幾里得幾何學的相當定理，我們得到下面的結果：對於一切的圓，圓周的長度和它的極限圓弧直徑的長度的比值是一個常數。我們熟知這個比值，用字母 來表示的，是一個無理數，它約等於3.1416。
直道線
直道線
直道線在羅巴切夫斯基幾何學裡所謂角的絕對量，是指以所給的角為圓心角時，圓弧的長度和這圓的極限圓弧半徑的長度的比值。因為圓周的長 ，那么，角的絕對量 和它的角度 的關係，可表以通常公式
直道線超球面上的直道線
關於在羅巴切夫斯基空間超球面上和球面上的內在幾何學的問題，仿照極限球面上討論過的情形，我們可以把 超球 面上的直道線當作它的直徑面的截口，這些曲線顯然是等距曲線，它們的底線在超球面的底面上．我們不難證明：如果把“極限球面”這個名詞改為“超球面”，上面所有極限球面的相關性質1～12依然成立。因此，如果我們把“直線”改為“直道線”，把“平面”改為“超球面”，那么，絕對平面幾何學的所有的定理依然成立。特別是這裡仍可仿照極限球面上的同樣辦法，用兩條切線所夾的角去量兩條直道線或超圓弧所夾的角。
利用上面最後所說的，我們可以簡單地解決超球面幾何學中關於平行公理的問題，為此目的，我們考慮超球面上的三角形ABC，把這個弧三角形ABC投射到超球面的底面上，得直線三角形A'B’C'(圖3)，這兩個三角形的對應角兩兩相等，因為它們是同一個二面角的直線角，但三角形A'B'C'為羅巴切夫斯基平面上的直線三角形，故它的內角之和小於兩直角。因此，超球面上由直道線即超圓弧所組成的三角形ABC，其內角的和也小於兩直角。
圖3但我們知道，關於三角形內角和的命題，與平行公理等價。因此，在超球面上的幾何學中，平行理論的基本命題可由羅巴切夫斯基平面幾何學的平行公理推得。由此推知，如果在羅巴切夫斯基平面幾何學裡，把“直線”這個名詞改為“直道線”，把“平面”改為“超球面”。那么，其中所有的定理仍然成立。
球面上的直道線
至於球面上的內在幾何學問題，便與上述兩款完全不同，設把球面的直徑面截口，即它的大圓叫作 直道線，我們將見，第1條公理便不可能成立。因為根據這公理，直線被它的兩點所決定，但經過球徑的兩個端點，可作無窮多個大圓，而不是唯一的一個。關於點的順序的基本命題也不成立，因為大圓是封閉曲線，若在其上取三點(圖4)，那么，究竟哪一點應該看作介於其他兩點之間是一個不能唯一地解決的問題。
圖4因此，就一般來說，絕對幾何學的定理，在把“直線”和“平面”改為“大圓”和“球面”之後便不再成立。
其次，在球面的內在幾何學，下面命題成立：“球面上每兩條直道線必相交”，而在歐幾里得幾何學或在羅巴切夫斯基幾何學，都沒有和此相類似的命題。最後，我們還要注意，球面三角形內角之和大於兩直角，這可由絕對空間幾何學中熟知的定理直接推得，因為在三面角中，三個二面角之和大於兩直角。
因此球面幾何學與歐幾里得幾何學，正如它和羅巴切夫斯基幾何學一樣，有深刻的區別，我們也可用公理的方法來敘述球面幾何學，黎曼曾經建立一支幾何學，和球面幾何學較相接近，他還把那種幾何學的空間加以推廣。在文獻上，有時稱那支幾何學為黎曼幾何學，或橢圓式幾何學。與此相仿，羅巴切夫斯基幾何學也稱為 雙曲式幾何學，歐幾里得幾何學也稱為 拋物式幾何學。
