循環小數分為混循環小數、純循環小數兩大類。
混循環小數可以*10^n（n為小數點後非循環位數），所以循環小數化為分數都可以最終通過純循環小數來轉化。
方法1.無限循環小數，先找其循環節（即循環的那幾位數字），然後將其展開為一等比數列、求出前n項和、取極限、化簡。
例如：0.333333……
循環節為3
則0.3=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+……
前n項和為：30.1(1-(0.1)^(n))/(1-0.1)
當n趨向無窮時（0.1）^（n）=0
因此0.3333……=0.3/0.9=1/3
注意：m^n的意義為m的n次方。
方法2：
無限循環小數化分數可分為兩類情況，純循環小數，混循環小數
（1）純小數純循環小數：舉的例子：0.1111…… 1的循環，我們可以設此小數為x，可得：
10x-x=1.1111……-0.1111……
9x=1
X=1/9
為了公式化，我們可以這樣表示：
x·10∧b－x ，其中b是循環節的位數。這適合所有純循環小數
（2）混循環小數：舉的例子：0.12111…… 1的循環，同樣，我們設此小數為x，可得：
1000x-100x=121.111……-12.111……
900x=109
X=109/900
它的公式是：
X·10∧（a+c）-x·10∧a，這裡的a是小數點後的循環節前的數字的位數，c代表循環節位數。
帶小數也適用！！
（3）討論造成的差異
純循環小數和混循環小數在化分數時公式存在差異，但理論上X·10∧（a+c）-x·10∧a適用於全部循環小數。
一題多解：將無限循環小數化成分數或者整數的有效方法，根據小數與分數的性質、任意無限循環小數均有一個分數與其相對應，因此，將已知無限循環小數對應著的“未知分數”設為X, 無須用等比數列極限求前n項和的方法，然後求方程的解，其方程的解（答案）是完全正確的：
例一：將無限循環小數0.123(·)化成分數：
解題：已知無限循環小數：0.123(·)，將已知無限循環小數0.123(·)的未知分數設為X,
∴X=0.123(·)——1式，（1式）兩邊同時乘以10得：
10X=1.23(·)——2式，（2式）-（1式）得：9X=1.11，X =1.11/9，
X =0.37/3，X =37/300，∴X=0.123(·)=37/300，即：0.123(·)=37/300
例二：將無限循環小數0.9(·)化成分數（整數）：
解題：已知無限循環小數0.9(·)，將已知無限循環小數0.9(·)的未知分數設為X，
即0.9(·)= X——1式，令10X=10（0.9+0.09(·)）,10X=9+0.9(·) ——2式，
將（2式）中的無限循環小數0.9(·)更換為X得：10X=9+X， 10X-X=9，
9X=9，X=9/9，X=1/1，X=1，∴X=0.9(·)=1，即：0.9(·)=1
例三：將無限循環小數0.26(··)化成分數：
解題：已知無限循環小數0.26(··)，將已知無限循環小數0.26(··)的未知分數設為X，
即0.26(··) =X——1式，令100X=100(0.26+0.0026(··))，100X=26+0.26(··)——2式，
將（2式）中的無限循環小數0.26(··)更換為X得：100x=26+X，
100X-X=26，99X= 26，X=26/99，∴X=0.26(··)=26/99，即：0.26(··)=26/99
例四：將無限循環小數0.123(··)化成分數：
解題：已知無限循環小數0.123(··)，將已知無限循環小數0.123(··)的未知分數設為X，
即0.123(··)= X ——1式，令1000X=1000(0.123+0.000123(··))，
1000X=123+0.123(··)——2式，將（2式）中的無限循環小數0.123(··)更換為X得：
1000X=123+X，1000X-X=123， 999 X=123，X=123/999，X=41/333，
∴X=0.123(··)=41/333，即：0.123(··)=41/333
例五：將無限循環小數0.128(··)化成分數：
解題：已知無限循環小數0.128(··)，將已知無限循環小數0.128(··)的未知分數設為X，
即0. 128(··)= X——1式，令1000X=1000(0.128+0.000128(··))，
1000X=128+0.128(··)——2式，將（2式）中的無限循環小數0. 128(··)更換為X得：
1000X=128+X，1000X-X=128， 999 X=128，X=128/999，
∴X=0.128(··)=128/999，即：0.128(··)=128/999
歸納一下，通過上述證明我們得知令10X、100X、1000X等等，並非任意的，毫無目的，而是有針對性，需要區別對待，不過恰恰有規律可循，要根據小數循環節的數字來定，如果循環節是1位數字乘以10，如果循環節是2位數字乘以10，如果循環節是3位數字乘以10，等等以此類推如果循環節有n個數字需要乘以10^n次方，目的是為了消除無限循環小數的無限循環節，…；因為無限不循環小數（無理數）無公度比，因此無限不循環小數（無理數）不能化成分數形式、即不能表達為n/m的形式，…。（作者：奇東）
#用歸納方法把有限小數與無限循環小數化成分數：
如何把循環小數（純循環小數、混循環小數、）有限小數、帶小數化成分數：
1、有感於小數0.126與0.˙126˙二者之間的數值差異，數值差異是多少？ 突發“奇想”、“異想天開”：
令0.126=126/1000
=126/（999+1）
假設：0.126=126/1000=126/（999+1）=[（126/999）+X]
=（0.˙126˙+X）——（1）式，
移項、通分得：
126/1000=126/（999+1）=[（126/999）+X]
X=(126/1000)-（126/999）
X=（126*999）/（1000*999）-（126*1000）/（999*1000）
X =(125874/999000)-(126000/999000)
=-126/999000
X=-126/999000
=-0.000˙126˙，
0.126=126/1000與0.˙126˙=126/999的數值差異是：
-0.000˙126˙=-126/999000，
把X=-0.000˙126˙=-126/999000，
並代入（1）式得：（126/999）-（126/999000）
=126/1000=0.126
因為0.˙126˙=126/999
所以 （0.˙126˙-0.000˙126˙）
=0.126，通過驗算後正確；
同時我們還得到了:
126/999=0.˙126˙、0.˙126˙=126/999、-0.˙126˙=-126/999
-0.000˙126˙=-126/999000、0.000˙126˙=126/999000，0.126=126/1000
2、由上述同理可得：0.˙126˙
=126/999
=126/（1000-1）
令：126/（1000-1）=[（126/1000）+X]
假設：126/999=[（126/1000）+X] ——（2）式，
或：0.˙126˙=（0.126+X）
移項、通分得：
126/（1000-1）=[（126/1000）+X]，
即：126/999=[（126/1000）+X]
X=(126×1000)/(999×1000)-(126×999)/(1000×999)
X =(126000/999000)- (125874/999000)
=126/999000
X=126/999000=0.000˙126˙，
X=126/999000
=0.000˙126˙，
0.˙126˙=126/999與0.126=126/1000的數值差異是：
0.000˙126˙=126/999000，
並把X=126/999000=0.000˙126˙
代入126/999=[（126/1000）+X] ——（2）式，
126/999=[（126/1000）+126/999000] ——（2）式，
126/999=[（126/1000）+126/999000]= 0.˙126˙
通過驗證後正確；
同時還得到了：
0.˙126˙=126/999，0.000˙126˙=126/999000，0.126=126/1000
註：數字左右上方帶點的小數均表示無限循環小數，
譬如：
1415926/10000000=0.1415926，
=1415926/（9999999+1），
假設：1415926/10000000=[1415926/（9999999）+X]
=（0.˙1415926˙+X）——（1式）
所以X= [（1415926*9999999）/10000000*9999999]
-（1415926*10000000）/（9999999*10000000）
=（14159258584074/99999990000000）
-（14159260000000/99999990000000）
=-1415926/99999990000000
=-0.0000000˙1415926˙（特表示無限循環小數）
X=-0.0000000˙1415926˙帶入（1式）驗證正確，
同時還得到了：
0.1415926=1415926/10000000，
0.˙1415926˙=1415926/9999999，
0.0000000˙1415926˙=1415926/99999990000000
根據以上運算結果由此歸納為：任一（無限）循環小數都可以化成分數，純循環小數化成分數後的分子就是一個循環節的數字所組成的數，分母各位數字都是9，其個數與一個循環節位數相同，混循環小數化成分數的分子就是第2個循環節前面的數字，分母的頭幾位數字是9，末幾位是0，9的個數與一個循環節位數相同，0的個數與不循環節的部分位數相同，統稱為歸納方法，由於上述有限小數、無限循環小數化為分數比較簡單直觀，混循環小數化成分數還有一種情況比較複雜：
3、把混循環小數化成分數（比較複雜、有點難度）：
譬如：把混循環小數0.228˙
化為分數：
解：0.228˙
=[（228/1000）+8/9000）]
=228/（900+100）+8/9000
=[（228/900）-（228/9000）]+（8/9000）
=（228/900）+[（8/9000）-（228/9000）]
=（228/900）-（22/900）
=（228-22）/900
=206/900
=103/450
=0.228˙；
譬如：把混循環小數0.126˙化成分數：
解：0.126˙=（0.126+0.0006˙）
=（126/1000）+（6/9000）
=[126/（900+100）+（6/9000）]
=[126/1000+（6/9000）]
=[（126/900）-（126）/（9000）]+（6/9000）
=（126/900）+[（6/9000）-（126/9000）]
=（126/900）-（12/900）
=（126-12）/900
=114/900
=57/450
=0.126˙，
譬如：把混循環小數0.123˙68˙化成分數：
解：0.123˙68˙=(0.12368+0.00000˙68˙)
=(12368/100000)+（68/9900000）
=[（12368/99000）-（12368/990000）]+（68/9900000）
=（12368/99000）+[（68/9900000）-（12368/9900000）]
=（12368/99000）+[（68/9900000）-（12368/9900000）]
=（12368/99000）-（12300/9900000）
=(12368-123)/99000
=12245/99000
=2449/19800；
其他混循環小數依次類推；
說明：上式中的0.228˙表示0.228888...，0.126˙表示0.126666...,0.123˙68˙混循環小數，把以上運算特徵歸納為：混循環小數化成分數的分子就是第2個循環節前面的數字組成的數減去不循環部分數字組成的數之差，分母的頭幾位數字是9，末幾位是0，9的個數與一個循環節位數相同，0的個數與不循環節的部分位數相同, 統稱為歸納方法，譬如：0.228˙=（228-22）/900=206/900=103/450、
0.126˙=（126-12）/900=114/900=57/450,0.123˙68˙=(12368-123)/99000
=12245/99000=2449/19800；能約分的要化簡。
4、有限小數化成分數：分母的首位數是1後面是0，0的個數與小數位數的個數相同，分子是把有限小數取作整數，把小數點右邊的數看作整數作為分子，但不包括小數點右邊十分位、百分位、千分位，...上的0，能約分的要化簡，譬如：將0.678化為分數，即678/1000=339/500，0.1681=1681/10000，0.087=87/1000，0.0078=78/10000=39/5000，...；
5、帶小數（混小數）化成分數：
譬如：將2.18化成分數，解：因為2.18=2+0.18，所以，2.18=2+0.18=2+（18/100）=2+（9/50）=109/50，把3.1415化成分數，∵3.1415=3+0.1415，∴3.1415=3+（1415/10000）=3+（283/2000）=6283/2000，等等以此類推，能約分的一定要化簡；
6、負小數化成分數其法則、方法與以上相同：
譬如：-0. ˙186˙=-186/999=-62/333，-0.0˙87˙=-87/990=-29/330，-0.5678=-5678/10000=-2839/5000，等等依次類推，能約分的一定要化為最簡分數，...。
7、使用歸納方法把下列小數化成分數：
（1）0.368˙616˙，（2）0.0105˙717˙，（3）0. ˙18˙，0. ˙168˙,0. ˙1787˙,(4)0.0˙869˙,0.00˙716˙,(5)0.36767，0.66558698，0.0687，0.0065，(6)2.18，3.1415，3. ˙56˙
解：
（1）0.368˙616˙=（368616-368）/999000=368248/999000=46031/124875，
（2）0.0105˙717˙=（105717-105）/9990000=105612/9990000=8801/832500，
（3）0. ˙18˙=18/99=2/11，0. ˙168˙=168/999=56/333，0. ˙1787˙=1787/9999，
(4)0.0˙869˙=869/9990，0.00˙716˙=716/99900=179/24975，
(5)0.36767=36767/10000，0.66558698=66558698/100000000
=33279349/50000000，0.0687=687/10000，0.0065=65/10000=13/2000，
(6)2.18=109/50，3.1415=6283/2000，3. ˙54˙=3+（54/99）=3+（6/11）
=39/11。
以上內容，並非猜測，是由拆分母運算大法則公式（公式沒有列出）所得到的，...。（個別錯，所難免）
（作者：奇東，單位：齊東）
