原則
混沌理論還有一個是發展特徵，他有三個原則：
1、能量永遠會遵循阻力最小的途徑
2、始終存在著通常不可見的根本結構，這個結構決定阻力最小的途徑。
3、這種始終存在而通常不可見的根本結構，不僅可以被發現，而且可以被改變。
定義
混沌理論混沌理論是一種兼具質性思考與量化分析的方法，用以探討動態 系統中無法用單一的數據關係，而必須用整體，連續的數據關係才能加以解釋及預測之行為。
“一切事物的原始狀態，都是一堆看似毫不關聯的碎片，但是這種混沌狀態結束後，這些無機的碎片會有機地匯集成一個整體”
混沌一詞原指宇宙未形成之前的混亂狀態，古希臘哲學家對於宇宙之源起即持混沌論，主張宇宙是由混沌之初逐漸形成現今有條不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方自然科學家經過長期的探討，逐一發現眾多自然界中的規律，如大家熟知的地心引力，槓桿原理，相對論等。這些自然規律都能用單一的數學公式加以描述，並可以依據此公式準確預測物體的行徑。
近半世紀以來，科學家發現許多自然現象即使可以化為單純的數學公式，但是其行徑卻無法加以預測。如氣象學家Edward Lorenz發現簡單的熱對流現象居然能引起令人無法想像的氣象變化，產生所謂的“蝴蝶效應”. 60年代，美國數學家Stephen Smale發現某些物體的行徑經過某種規則性變化之後，隨後的發展並無一定的軌跡可循，呈現失序的混沌狀態。
背景
1963年美國氣象學家愛德華·諾頓·洛倫茨提出混沌理論（Chaos），非線性系統具有的多樣性和多尺度性。混沌理論解釋了決定系統可能產生隨機結果。理論的最大的貢獻是用簡單的模型獲得明確的非周期結果。在氣象、航空及航天等領域的研究里有重大的作用。
混沌理論認為在混沌系統中，初始條件十分微小的變化，經過不斷放大，對其未來狀態會造成極其巨大的差別。我們可以用在西方世界流傳的一首民謠對此作形象的說明。這首民謠說：
釘子缺，蹄鐵卸；蹄鐵卸，戰馬蹶；戰馬蹶，騎士絕；騎士絕，戰事折；戰事折，國家滅。
馬蹄鐵上一個釘子是否會丟失，本是初始條件的十分微小的變化，但其“長期”效應卻是一個帝國存與亡的根本差別。這就是軍事和政治領域中的所謂“蝴蝶效應”。混沌系統對外界的刺激反應，比非混沌系統快。
起因
混沌一詞原指宇宙未形成之前的混亂狀態，中國及古希臘哲學家對於宇宙之源起即持混沌論，主張宇宙是由混沌之初逐漸形成現今有條不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方自然科學家經過長期的探討，逐一發現眾多自然界中的規律，如大家耳熟能詳的地心引力、槓桿原理、相對論等。這些自然規律都能用單一的數學公式加以描述，並可以依據此公式準確預測物體的行徑。
混沌現象起因於物體不斷以某種規則複製前一階段的運動狀態，而產生無法預測的隨機效果。所謂“差之毫厘，失之千里”正是此一現象的最佳批註。具體而言，混沌現象發生於易變動的物體或系統，該物體在行動之初極為單純，但經過一定規則的連續變動之後，卻產生始料所未及的後果，也就是混沌狀態。但是此種混沌狀態不同於一般雜亂無章的的混亂狀況，此一混沌現象經過長期及完整分析之後，可以從中理出某種規則出來。混沌現象雖然最先用於解釋自然界，但是在人文及社會領域中因為事物之間相互牽引，混沌現象尤為多見。如股票市場的起伏、人生的平坦曲折、教育的複雜過程。
蝴蝶效應與混沌學
1963年美國氣象學家愛德華·諾頓·勞侖次]]提出混沌理論（Chaos），非線性系統具有的多樣性和多尺度性。混沌理論解釋了決定系統可能產生[[隨機]]結果。理論的最大的貢獻是用簡單的模型獲得明確的非周期結果。在氣象、航空及航天等領域的研究里有重大的作用。
混沌理論認為在混沌系統中，初始條件十分微小的變化，經過不斷放大，對其未來狀態會造成極其巨大的差別。我們可以用在西方世界流傳的一首民謠對此作形象的說明。這首民謠說：
丟失一個釘子，
壞了一隻蹄鐵；
壞了一隻蹄鐵，
折了一匹戰馬；
傷了一位騎士，
輸了一場戰鬥；
輸了一場戰爭，
亡了一個帝國。
馬蹄鐵上一個釘子是否會丟失，本是初始條件的十分微小的變化，但其“長期”效應卻是一個帝國存與亡的根本差別。這就是軍事和政治領域中的所謂“蝴蝶效應”。混沌系統對外界的刺激反應，比非混沌系統快。
布萊德福所發明之定律為書目計量學三大定律，布萊德福以套用地球物理學為例：
每區的期刊數之比9：59：258
視為10：50：250
等於1：5：25
所以，推論出其公式為“y=x1+x2+x3...+xn+E”。E 即 error 混沌不明的變因，如同雜訊是無法解釋的。
典型例子
“餘切序列”是蝴蝶效應的一個典型例子。你看，以下三個數列每一項都是前一項的餘切；初值分別為1、1.00001、1.0001，但是從第10項開始，三個數列開始形成巨大的分歧。這就是混沌的數列，經過足夠多項後，得到的數字完全可以看作是隨機的，混沌的。
| a[n+1]=cot(a[n]) |
| 甲 |
| 1 |
| 0.642092616 |
| 1.337253178 |
| 0.237883877 |
| 4.124136332 |
| 0.667027903 |
| 1.269957474 |
| 0.310255611 |
| 3.119060463 |
| -44.37343796 |
| -2.424894313 |
| 1.147785023 |
| 0.45018926 |
| 2.069157407 |
| -0.544176342 |
| -1.652562399 |
| 0.081948782 |
| 12.17541547 |
| -2.42617226 |
| 1.150750903 |
| 0.44662703 |
| 2.088110796 |
| -0.569001376 |
理論上函式是連續的，現實世界的函式是間斷的,因此出現上述問題（計算機無法一直準確計算cot(a[n]))必然從某一位開始進行了去尾。而COT函式本身是不連續的，存在某些地方，因一小點x的差距，導致極大y差別。
混沌特性
(1)隨機性：體系處於混沌狀態是由體系內部動力學隨機性產生的不規則性行為，常稱之為內隨機性．例如，在一維非線性映射中，即使描述系統演化行為的數學模型中不包含任何外加的隨機項，即使控制參數、初始值都是確定的，而系統在混沌區的行為仍表現為隨機性。這種隨機性自發地產生於系統內部，與外隨機性有完全不同的來源與機制，顯然是確定性系統內部一種內在隨機性和機製作用。體系內的局部不穩定是內隨機性的特點，也是對初值敏感性的原因所在。
(2)敏感性：系統的混沌運動，無論是離散的或連續的，低維的或高維的，保守的或耗散的。時間演化的還是空間分布的，均具有一個基本特徵，即系統的運動軌道對初值的極度敏感性。這種敏感性，一方面反映出在非線性動力學系統內，隨機性系統運動趨勢的強烈影響；另一方面也將導致系統長期時間行為的不可預測性。氣象學家洛侖茲提出的所謂"蝴蝶效應"就是對這種敏感性的突出而形象的說明。
(3)分維性：混沌具有分維性質，是指系統運動軌道在相空間的幾何形態可以用分維來描述。例如Koch雪花曲線的分維數是1.26；描述大氣混沌的洛倫茲模型的分維數是2.06體系的混沌運動在相空間無窮纏繞、摺疊和扭結，構成具有無窮層次的自相似結構。
(4)普適性：當系統趨於混沌時，所表現出來的特徵具有普適意義。其特徵不因具體系統的不同和系統運動方程的差異而變化。這類系統都與費根鮑姆常數相聯繫。這是一個重要的普適常數δ=4．669201609l0299097…
(5)標度律：混沌現象是一種無周期性的有序態，具有無窮層次的自相似結構，存在無標度區域。只要數值計算的精度或實驗的解析度足夠高，則可以從中發現小尺寸混沌的有序運動花樣，所以具有標度律性質。例如，在倍周期分叉過程中，混沌吸引子的無窮嵌套相似結構，從層次關係上看，具有結構的自相似，具備標度變換下的結構不變性，從而表現出有序性。
實際套用
社會方面
混沌理論尤其蝴蝶效應通常用於天氣、股票市場等在一定時段難以預測的比較複雜的系統中。如果這個差異越來越大，那這個差距就會形成很大的破壞力。為什麼天氣或者是股票市場會有崩盤和不可預測的自然災害。
蝴蝶效應在社會學界用來說明：一個微小的機制，如果不加以及時地引導、調節，可能會給社會帶來非常大的危害，戲稱為“龍捲風”或“風暴”；一個微小的機制，只要正確指引，經過一段時間的努力，將有可能會產生轟動效應，或稱為“革命”。
經濟方面
2003年，美國發現一宗疑似瘋牛病案例，馬上就給剛剛復甦的美國經濟帶來一場破壞性很強的颶風。扇動“蝴蝶翅膀”的，是那頭倒霉的“瘋牛”，受到衝擊的，首先是總產值高達1750億美元的美國牛肉產業和140萬個工作崗位；而作為養牛業主要飼料來源的美國玉米和大豆業，也受到波及，其期貨價格呈現下降趨勢。但最終推波助瀾，將“瘋牛病颶風”損失發揮到最大的，還是美國消費者對牛肉產品出現的信心下降。
1998年亞洲發生的金融危機和美國曾經發生的股市風暴實際上就是經濟運作中的混沌理論中的一種現象；蝴蝶效應也是混沌理論中的一個概念。它是指對初始條件敏感性的一種依賴現象：輸入端微小的差別會迅速放大到輸出端壓倒一切的差別。好像一隻蝴蝶今天在北京扇動翅膀，可能在大氣中引發一系列事件，從而導致某個月紐約一場暴風雨的發生。
語言方面
混沌理論在語言研究領域有著廣泛的套用。學術界用蝴蝶效應來解釋和研究混沌語言現象，例如《人民日報》於2010年11月10日在頭版頭條刊發了題為《江蘇給力“文化強省”》的文章，由於其權威性和號召力，一直僅限於網路使用的“給力”一詞一夜之間紅遍中國，擴散到全民辭彙系統中，並被收錄進第六版《現代漢語詞典》。
上世紀80年代，學術界開始採用混沌論及其蝴蝶效應來研究語言問題。1991年在美國伯克利舉行的“語言研究的新方法與新視野”研討會上，中國數學家、語言學家周海中教授曾建議創立“語言混沌論”。他指出，語言混沌論主要從混沌論的角度審視語言及其相關現象，運用混沌論的方法解決語言及其相關現象的非線性問題;為了促進混沌語言研究的發展，有必要建立一種新型的語言研究範式。就目前情況來看，這種語言研究新範式正在興起。
運用
混沌不是偶然的、個別的事件，而是普遍存在於宇宙間各種各樣的巨觀及微觀系統的，萬事萬物，莫不混沌。混沌也不是獨立存在的科學，它與其它各門科學互相促進、互相依靠，由此派生出許多交叉學科，如混沌氣象學、混沌經濟學、混沌數學等。混沌學不僅極具研究價值，而且有現實套用價值，能直接或間接創造財富。理論上研究混沌的目的是多方面的：揭示混沌的本質（內在隨機性）、刻畫它的基本特徵、了解它的動力性態，並力求對它加以控制，使之為人類所用。在過去20年中，混沌在工程系統中逐漸由被認為僅僅是一種有害的現象轉變到被認為是具有實際套用價值的現象來加以探討。近年來的大量研究工作表明，混沌與工程技術聯繫愈來愈密切，它在生物醫藥工程、動力學工程、化學反應工程、電子信息工程、計算機工程、套用數學和實驗物理等領域中都有著廣泛的套用前景。在套用方面，主要包括混沌信號同步化和保密通信，混沌預測，混沌神經網路的信息處理、混沌與分形圖像處理，基於混沌的最佳化方法、混沌生物工程、天氣系統、生態系統、混沌經濟等。此外， 控制混沌的技術還被套用到神經網路、雷射、化學反應過程、流體力學、非線性機械故障診斷系統、非線性電路、天體力學、醫療以及分布參數的物理系統的研究工作中去。當前，在一些混沌顯得非常重要而且有用的領域，有目的地產生或強化混沌現象已經成為一個關鍵性的研究課題。
混沌理論在教育行政、課程與教學、教育研究、教育測驗等方面已經有些許套用的例子。由於教育的對象是人，人是隨時變動起伏的個體，而教育的過程基本上依循一定的準則，並歷經長期的互動，因此，相當符合混沌理論的架構。也因此，依據混沌理論，教育系統容易產生無法預期的結果。此一結果可能是正面的，也有可能是負面的。不論是正面或是負面的，重要的是，教育的成效或教育的研究除了短期的觀察之外，更應該累積長期數據，從中分析出可能的脈絡出來，以增加教育效果的可預測性，並運用其擴大教育效果。
混沌理論，是系統從有序突然變為無序狀態的一種演化理論，是對確定性系統中出現的內在“隨機過程”形成的途徑、機制的研討。
過去決策基礎的三個主要假定和三個新的現實。根據混沌理論，格拉斯提出，過去作為決策基礎的三個主要假定已經不再成立。這些假定是：
最早建立混沌反控制理論，國際權威L.O. Chua評價“陳關榮是國際上混沌控制的早期開拓者之一和混沌反控制理論的創始人”；發現Lorenz系統的對偶系統和它們之間的臨界系統，國際權威J.C. Sprott等稱為“Chen系統”、“Lu系統”；提出單參數統一系統，國際權威D.J. Hill稱為“基準系統”；提出廣義Lorenz系統族並建立其理論框架。研究成果在工程技術等領域具有良好的套用前景。
假定1
企業是一個“說到做到”的封閉系統。外界對企業決定採取的行動沒有多大幹擾。
假定2
經營環境是穩定的。管理者能夠充分把握經營環境，從而制定出詳盡具體的戰略。
假定3
管理者對事件的因果關係有著足夠的認識。他們能夠順藤摸瓜，找出每一事件將會導致的變化。
在格拉斯看來，這些舊的假定已經被三個新的現實所代替：
現實1
企業是複雜的“開放”系統，既影響著其所處的環境，又在很大程度上受環境的影響。這意味著，企業的行動可能無法達到它所預期的結果。
現實2
環境是瞬息萬變的（不斷創造著機會和威脅）。高層管理者不能指望制定出在付諸實施時仍完全有效的詳盡戰略。
現實3
作為傳統決策理論基礎的簡單線性因果關係模型已經失靈。因此，各種事件的後果是無法預料的。
美國數學家約克與他的研究生李天岩在1975年的論文“周期3則亂七八糟(Chaos)”中首先引入了“混沌”這個名稱。美國氣象學家洛倫茨在20世紀60年代初研究天氣預報中大氣流動問題時，揭示出混沌現象具有不可預言性和對初始條件的極端敏感依賴性這兩個基本特點，同時他還發現表面上看起來雜亂無章的混沌，仍然有某種條理性。1971年法國科學家羅爾和托根斯從數學觀點提出納維-斯托克司方程出現湍流解的機制，揭示了準周期進入湍流的道路，首次揭示了相空間中存在奇異吸引子，這是現代科學最有力的發現之一。1976年美國生物學家梅在對季節性繁殖的昆蟲的年蟲口的模擬研究中首次揭示了通過倍周期分岔達到混沌這一途徑。1978年，美國物理學家費根鮑姆重新對梅的蟲口模型進行計算機數值實驗時，發現了稱之為費根鮑姆常數的兩個常數。這就引起了數學物理界的廣泛關注。與此同時，曼德爾布羅特用分形幾何來描述一大類複雜無規則的幾何對象，使奇 異吸引子具有分數維，推進了混沌理論的研究。20世紀70年代後期 科學家們在許多確定性系統中發現混沌現象。作為一門學科的混沌學目前正處在研討之中，未形成一個完整的成熟理論。
但有的科學家對混沌理論評價很高，認為“混沌學是物理學發生的第二次革命”。但有的人認為這似乎有些誇張。對於它的套用前景有待進一步揭示。但混沌理論研究同協同學、耗散結構理論緊密相關。它們在從無序向有序和由有序向無序轉化這一研究主題有共同任務，因而混沌理論也是自組織系統理論的一個組成部分。近幾年來，科學家們在研究混沌控制方面已取得重要進展，實現了第一類混沌，即時間序列混沌的控制實驗。英、日科學家還在試驗用混沌信號隱藏機密信息的信號傳輸方法。
混沌理論，是近三十年才興起的科學革命，它與相對論與量子力學同被列為二十世紀的最偉大發現和科學傳世之作。量子力學質疑微觀世界的物理因果律，而混沌理論則緊接著否定了包括巨觀世界拉普拉斯（Laplace）式的決定型因果律。
套用
現實意義
混沌的發現揭示了我們對規律與由此產生的行為之間－－即原因與結果之間－－關係的一個基本性的錯誤認識。我們過去認為，簡單的原因必定產生簡單的結果(這意昧著複雜的結果必然有複雜的原因)，但現在我們知道了，簡單的原因可以產生複雜的結果。我們認識到，知道這些規律不等於能夠預言未來的行為。
這一思想已被一群數學家和物理學家，其中包括威廉·迪托 (William Ditto)、艾倫·加芬科(Alan Garfinkel)和吉姆·約克 (Jim Yorke)，變成了一項非常有用的實用技術，他們稱之為混沌控制。實質上，這一思想就是使蝴蝶效應為你所用。初始條件的小變化產生隨後行為的大變化，這可以是一個優點；你必須做的一切，是確保得到你想要的大變化。對混沌動力學如何運作的認識，使我們有可能設計出能完全實現這一要求的控制方案。這個方法已取得若干成功。混沌控制的最早成就之一，是僅用衛星上遺留的 極少量肼使一顆“死”衛星改變軌道，而與一顆小行星相碰撞。美國 國家航空與航天管理局操縱這顆衛星圍繞月球旋轉5圈，每一圈 用射出的少許肼將衛星輕推一下，最後實現碰撞。
混沌理論的特徵在證券市場中也存在。周K線圖看上去與日K線圖、小時K線圖、5分鐘K線圖的形狀十分相似，這就是證券市場價格的分形特徵，我們可以套用5分鐘K線圖或者小時K線圖來推斷日K線圖或周K線圖的形狀，為投資決策服務。
蝴蝶效應
近半世紀以來，科學家發現許多自然現象即使可化為單純的數學公式，但是其行徑卻無法加以預測。如氣象學家Edward Lorenz發現，簡單的熱對流現象居然能引起令人無法想像的氣象變化，產生所謂的“蝴蝶效應”，亦即某地下大雪，經追根究底卻發現是受到幾個月前遠在異地的蝴蝶拍打翅膀產生氣流所造成的。一九六○年代，美國數學家Stephen Smale 發現，某些物體的行徑經過某種規則性的變化之後，隨後的發展並無一定的軌跡可尋，呈現失序的混沌狀態。
混沌控制
混沌控制由狄透（William Ditto）、賈芬卡（Alan Garfinkel）、約克（Jim Yorke），將此想法化為實用技術，用微小的變化開始，造成希望所想的巨大改變。
控制方法
混沌控制方法有兩種，一是通過合適的策略、方法及途徑，有效地抑制混沌行為，使李雅普諾夫指數下降進而消除混沌；二是選擇某一具有期望行為的軌道作為控制目標。一般情況下，在混沌吸引子中的無窮多不穩定的周期軌道常被作為首選目標，其目的就是將系統的混沌運動軌跡轉換到期望的周期軌道上。不同的控制策略必須遵循這樣的原則：控制律的設計須最小限度的改變原系統，從而對原系統的影響最小。從這個觀點來看， 控制方式可以分為兩類： 反饋控制和非反饋控制。反饋控制是一種十分成熟而且套用廣泛的工程設計技術， 它主要利用混沌系統的本質特徵， 如對於初始點的敏感依賴性， 來穩定已經存在於系統中的不穩定軌道。一般來說，反饋控制的優點在於不需要使用除系統輸出或狀態以外的任何有關給定被控系統的信息， 不改變被控系統的結構， 具有良好的軌道跟蹤能力和穩定性。其缺點在於要求一個比較精確的數學模型和輸入目標函式或軌道， 在只存在觀測數據而沒有數學方程時不能直接使用。和反饋控制方式相比，非反饋控制主要利用一個小的外部擾動， 如一個小驅動信號、噪聲信號、常量偏置或系統參數的弱調製來控制混沌， 該控制方式的設計和使用都十分簡單， 但無法確保控制過程的穩定性。這兩種方式都是通過混沌動力學系統的稍微改變來求得系統的穩定解。在控制混沌的實現中，最大限度地利用混沌的特性，對於確定控制目標和選取控制方法非常關鍵。混沌控制的基本方法有：OGY方法、連續反饋控制法（外力反饋控制法和延遲反饋控制法）、自適應控制法以及智慧型控制法（神經網路和模糊控制）等
