保守系統的混沌
保守系統中的混沌
保守系統中的混沌力學系統可按照其能量是否守恆區分為保守系統和耗散系統；又可按照系統可否用已知數學方式表達其運動形式區分為可積系統與不可積系統兩類。在一切可能的力學系統中，不可積系統無處不在，可積系統十分罕見。傳統的力學教科書只講授可積系統 ，沒有描述出牛頓力學的真面目。不可積的力學系統的典型運動圖像究竟如何，成為一個數學難題。19世紀末H.龐加萊在討論太陽系穩定性時，首次發現三體問題不可積和三體運動軌道的複雜性。直到20世紀60年代初三位數學家A.科爾莫戈羅夫、V.阿諾爾德和J.莫塞證明了KAM定理後，才從一定意義上正面回答了部分問題。
KAM定理說的是，如果一個系統偏離可積系統足夠小，總體運動圖像和可積系統差不多。但KAM定理沒有回答大偏離下系統的運動如何。這時系統仍然遵從確定論的牛頓力學方程，亦即只要系統精確地從某一初始點出發，其運動的軌道是完全確定的。但如果初始條件發生不論多么微小的變化，系統某些運動軌道會出現無法預料的改變。這種發生在確定性系統中的運動軌道對初始值極為敏感的貌似無序和混亂的運動，即混沌運動。一個典型的不可積的力學系統通常兼有規則運動和隨機運動的兩種不同區域。隨著偏離可積性，隨機區域逐漸擴大，終至取代規則區域。因此，從可預測性的觀點看，決定性的牛頓力學實際上具有內秉的隨機性。
KAM定理說明接近可積哈密頓系統的運動所具有的性質。由此開始的對哈密頓系統的研究發現，當KAM定理不適用時，系統中也出現混沌運動。在70年代，動力學系統的內在隨機性理論或混沌理論以及與之相關的奇怪吸引子的數學理論都迅速發展起來。有人認為，這種理論可能是最終闡明流體力學中湍流機理的一種途徑，但也有人認為現今混沌理論處理的是較簡單的數學模型，對於象納維－斯托克斯方程那樣的偏微分方程還無能為力，因此，對於解決湍流機理為時尚早。在物理學和其他科學領域中，也有混沌運動的各種例子。混沌現象的發現使人們對於經典力學和統計力學之間、確定論和隨機論之間的溝通，在思想上是有啟發的。
耗散系統的混沌
一個形似蝴蝶翅膀的洛侖茲吸引子混沌運動的直觀形象，在隨能量不斷耗散而自由度降低的耗散系統中看得更清楚。19 63年美國氣象學家E.洛倫茨在研究對天氣至關緊要的熱對流問題時，把包含無窮多自由度的熱對流偏微分方程簡化為三個變數的一階非線性常微分方程組：
dx/dt=－σx+σy
dy/dt=rx－y－xz
dz/dt=bz+xy
式中變數x表示大氣對流強度，y表示上升流與下降流溫差，z表示垂直溫度剖面變化。係數σ為普朗特數，r為瑞利數，b為量度水平溫度結構與垂直溫度結構衰減率之差異。洛倫茨選定σ=10，r=28，b=8/3，然後數值求解方程組。結果發現，這極度簡化了的系統，出現了極為複雜的運動形式。起始值的細微變化，足以使軌道全然改觀。把數值計算結果在由x,y,z支撐的三維相空間中畫出來，軌道如上圖所示。這是一條在三維空間似乎無序地左右迴旋的連續光滑曲線，它並不自我相交，呈現複雜的結構紋樣。無論初始值選取在哪裡，系統軌道有同一歸宿，形成所謂奇怪吸引子。在奇怪吸引子上，如果選取任意接近的兩個點為初始值，其運動軌跡以指數方式迅速分離，表現出對初值的極端敏感。具體的是，軌道左右跳動的順序和次數完全不同。計算表明，初始位置幾乎會聚在一起的10,000個點，稍後便會在圖中所示的吸引子上到處分布，說明這樣的系統中，由於初值的細微不同，運動是不可預測的。
確定性耗散系統運動最終局限在低維吸引子上的現象十分常見。如阻尼擺因受到阻力而停擺，其吸引子稱為不動點；適當輸入能量抵消耗散，鐘擺仍可保持某種周期擺動，此時吸引子為極限環。這類吸引子不存在初值敏感性，故稱為平庸吸引子。
洛倫茨吸引子是耗散系統中發現的第一個奇怪吸引子，此後相繼在許多非線性系統中找到形形色色的奇怪吸引子，諸如天體運動模型中的埃農吸引子，描述非線性振動的范德波爾方程的上田吸引子，描述化學振盪的布魯塞爾吸引子等。奇怪吸引子具有一些獨特的性質：①在它上面運動軌道對初值極度敏感，不可預測；②它具有分形結構，局部與整體相似。計算表明，洛倫茨吸引子的分維數為2.06。奇怪吸引子還具有各態歷經性，即在相空間中曲折來回穿插的運動軌道經過吸引子上的每一點。
表征混沌中無序現象的兩個基本特點是：不可預言性和對於初始值的極端敏感依賴性。這是由E.洛倫茨研究天氣預報中大氣流動問題時首先揭示的。他通過編製程序在計算機上求解模擬地球大氣的一個方程組，發現只要作為實驗出發點的初始值有一個微不足道的差異，在混沌狀態下同一種過程將導致截然不同的圖像。而且由於不可能以無限的精度測量初始值，因此不可能預言任何混沌系統的最後結果。洛倫茨還發現，儘管混沌看起來是雜亂無章的，但仍然具有某種條理性，根據計算機輸出的幾千個可能的解列印的數字只是在某種狀態的範圍內是隨機分布的。正如每日的天氣可以有無窮多不可預測的組態，而逐年的氣候多少保持某種穩定性。這種內在有序性的源泉是一種被數學家稱之為吸引子的東西，它因具有傾向於把一個系統或一個方程吸引到某個終態而得名。洛倫茨模型的吸引子是一類奇異吸引子，方程的解將無限趨近於此奇異吸引子，來回盤旋形成渾然一體的左右兩簇，宛如顫動中的一對蝴蝶翅膀（見上圖）。
混沌的一個著名表述是 蝴蝶效應：“南美洲一隻蝴蝶扇一扇翅膀，就會在佛羅里達引起一場颶風。”
模型的複雜行為
簡單原因可導致複雜後果。許多看來雜亂無章、隨機起伏的時間變化或空間圖案，可能來自重複運用某種簡單而確定的非線性基本作用的結果。一個典型例子是極為簡單的一維疊代蟲口模型。
假定成蟲繁殖後全部死亡，然後孵化出下一代，世代之間沒有交疊。如果下一代蟲口數簡單正比於前一代蟲口數，只要平均產卵數大於1，經過幾代繁殖就會蟲滿為患。這就是馬爾薩斯蟲口論：蟲口按幾何級數增長。然而，隨著蟲口增長，群蟲爭奪有限食物和配偶，加之傳染病因蟲間接觸而蔓延，蟲口又會減少。產卵數正比於蟲口數，蟲間爭鬥和接觸正比於蟲口數平方。可用x=λx(1-x)的疊代過程描述蟲口變化，其中x代表第n代蟲口 ，λ是一個表示蟲口增長率的參數，取值範圍為0≤λ≤4。對應一個λ值，任取初值x，根據前述疊代關係，反覆疊代算出x,x,... 不看最初的有限個x值。它顯示出了簡單疊代模型的複雜行為。在0≤λ≤1時，蟲口數最終為0，表明在此範圍內蟲種滅絕。在1≤λ≤3時，蟲口數隨λ單值上升，x(λ)=1－1/λ，疊代值為不動點。從λ>1開始，出現兩種不同類型的蟲口變化方式：先是x(λ)在2個點之間跳躍，然後在4,8,16,…,2n個點間作周期性跳躍，表現出倍周期分岔規律，這個λ區是對初值不敏感的周期變化區；當λ≥λ…時存在確定的λ區內，稍微改變初值則其上的x(λ)所經歷的具體數值就完全不同，這正是對初值敏感的混沌區，如果提高精度在此區可看到小的對初值不敏感的周期變化區。這種在混沌區內鑲嵌的周期區稱為周期視窗，其分叉圖存在自相似結構。不難看出，即使如x=λx(1－x)這樣簡單的疊代，由於包含非線性作用，也會表現出從分岔到混沌的變化過程和周期運動與混沌運動互相交織、亂而有章的複雜圖景。
通向混沌的道路
對各種非線性數學模型的理論研究和對具體非線性系統的實驗研究，揭示了系統隨控制參數變化由規則運動通向混沌運動的多種典型途徑，其中具有代表性的有：
①倍周期分岔道路。系統中相繼出現2,4,8,…倍周期，最終進入混沌狀態。極限點附近，這一系列分岔在參數空間和相空間都表現出尺度變換下的不變性，即自相似性。使用重正化群計算可得到這些分岔過程的一套普適常數，它們與實驗事實相符。
②準周期道路。隨著控制參數的變化，系統陸續出現不動點、極限環、準周期二維環面，隨即而進入混沌狀態。這是1975年D.呂埃勒和F.塔肯思提出的一種混沌發生機制。該發生機制可用圓映射說明，這裡也發現了一些標度律和普適常數。
③陣發混沌道路。這種道路表現為周期運動和混沌運動交替出現。隨著控制參數接近轉變點，在規則運動中不時崩發的隨機運動片段變得越發頻繁，最後進入完全的混沌狀態。分析表明，混沌狀態發生機制可用離散映射的切分岔過程解釋。
混沌研究的發展方向
一個形似蝴蝶翅膀的洛侖茲吸引子混沌運動、奇怪吸引子、通向混沌道路等概念的提出，開闊了理論和實驗工作者的思路。從 20世紀80年代開始，在電漿放電系統、非線性電路、聲學和聲光耦合系統、雷射器和光雙穩態裝置、化學振盪反應、動物心肌細胞的強迫振動、野生動物種群的數目消長、人類腦電波信號乃至社會經濟活動等領域內到處發現混沌，顯示出混沌運動是許多非線性系統的典型行為。作為非線性科學主要研究領域，混沌研究的主要方向集中在如下幾個方面：①時空混沌；②量子混沌；③混沌運動的進一步分類；④混沌吸引子的精細刻畫；⑤混沌的同步和控制等。
對混沌的研究雖已有一些嚴格的數學方法，但大量的研究主要依靠計算機數值實驗。混沌的研究和許多學科有關。在分析力學中，運用KAM定理可判斷一類近似可積的哈密頓系統（一種非線性動力學系統）中能否出現混沌運動。開放系統的混沌運動的研究與耗散結構理論有密切聯繫。混沌的研究與協同學也緊密相關，兩者都研究系統由有序向無序和由無序向有序的轉化。在系統科學中，也日益重視對混沌的研究。對混沌研究的套用前景還有待進一步揭示。混沌現象的發現還使人們對於認識確定論與隨機論之間的關係得到新的啟示。
混沌研究的意義
混沌研究的實際意義是多方面的。①混沌運動的發現，使人們看到普遍存在於自然界而長期視而不見的一種運動形式，從而理解過去難以理解的許多現象。如1977年後曾發現，放在微波諧振腔中的超導隧道結隨著增益的提高出現反常噪聲，在4K低溫下進行的實驗中噪聲的等效溫度高達5×10K以上，這是用當時已知的任何機制都無法解釋的。後來明白這是系統進入了混沌區，噪聲來自動力學本身。高能粒子加速器中的束流損失、磁約束核聚變裝置中電漿的泄漏、核電站循環水系統可能發生的有害回流等，都與混沌現象有聯繫。②混沌運動的發現提供了一種考慮問題的新角度。如長期天氣預報問題、洛倫茨吸引子的發現、大氣動力學方程組解對初值的敏感性，動搖了原來以為只要提高計算精度即可解決長期天氣預報的想法。而混沌吸引子的遍歷性質，恰好可保證許多長時間平均量的穩定性和對初始條件的無關性。因為長期天氣預報所關心的是相當長時期以後雨量、溫度的平均值，混沌反而增加了長期天氣預報的可靠性。另外，地磁場近百萬年來的多次隨機轉向、影響全球天氣變化的厄爾尼諾現象，都可從確定性系統的混沌運動角度加以研究。③混沌運動的研究對用物理學、數學等精確科學方法研究複雜的生命現象有重要啟發作用。如各種生物節律，既非完全周期，又非純粹隨機。它既有受自然界周期過程如季節、晝夜等影響的一面，又保持著其自身內秉特性。採用耦合非線性振子等數學模型模擬配合生理實驗，可揭示各種心律不齊、房室傳導阻礙、心室纖維顫動與混沌運動的可能聯繫。考察人類的腦電波，發現癲癇患者發病時的腦電波呈明顯的周期性，而正常人的腦電波更接近隨機信號。採用維數測量發現這些信號並不真正隨機，而是來至維數不很高的吸引子上的動力學行為。④混沌研究改變了人類的自然觀。對於統一的自然界，歷來有確定論和機率論兩套對立的描述體系。牛頓力學建立以來的科學傳統推崇確定論體系，而把機率論描述當作不得已而為之的補充。混沌運動對確定性系統本身就存在著內秉隨機性的揭示，無疑會使人們從這種人為對立的描述系統中解脫出來，深化對必然和偶然的認識，更全面地認識自然界的統一性。
混沌現象的發現和混沌理論的建立，同相對論和量子論一樣，是對牛頓確定性經典理論的重大突破。許多科學家認為，20世紀物理學三件輝煌的科學奇蹟是相對論、量子論和混沌理論的創立。
