概念
1.海明碼的概念
海明碼是一種可以糾正一位差錯的編碼。它是利用在信息位為k位，增加r位冗餘位，構成一個n=k+r位的碼字，然後用r個監督關係式產生的r個校正因子來區分無錯和在碼字中的n個不同位置的一位錯。它必需滿足以下關係式：
2^r>=n+1或2^r>=k+r+1
海明碼的編碼效率為：
R=k/(k+r)
式中 k為信息位位數
r為增加冗餘位位數
生成與接受
2.海明碼的生成與接收
方法一：
1)海明碼的生成。
例1.已知：信息碼為："0010"。海明碼的監督關係式為：
S2=a2+a4+a5+a6
S1=a1+a3+a5+a6
S0=a0+a3+a4+a6
求：海明碼碼字。
解：1)由監督關係式知冗餘碼為a2a1a0。
2)冗餘碼與信息碼合成的海明碼是："0010a2a1a0"。
設S2=S1=S0=0,由監督關係式得：
a2=a4+a5+a6=1
a1=a3+a5+a6=0
a0=a3+a4+a6=1
因此，海明碼碼字為："0010101"
2)海明碼的接收。
例2.已知：海明碼的監督關係式為：
S2=a2+a4+a5+a6
S1=a1+a3+a5+a6
S0=a0+a3+a4+a6
接收碼字為："0011101"(n=7)
求：傳送端的信息碼。
解：1)由海明碼的監督關係式計算得S2S1S0=011。
2)由監督關係式可構造出下面錯碼位置關係表：
S2S1S0
000
001
010
100
011
101
110
111
錯碼位置
無錯
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
3)由S2S1S0=011查表得知錯碼位置是a3。
4)糾錯--對碼字的a3位取反得正確碼字："0 0 1 0 1 0 1"
5)把冗餘碼a2a1a0刪除得傳送端的信息碼："0010"
方法二：(不用查表，方便編程)
1)海明碼的生成（順序生成法）。
例3.已知：信息碼為：" 1 1 0 0 1 1 0 0 " (k=8)
求：海明碼碼字。
解：1)把冗餘碼A、B、C、…，順序插入信息碼中，得海明碼
碼字:" A B 1 C 1 0 0 D 1 100 "
碼位: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
其中A,B,C,D分別插於2k位(k=0,1,2,3)。碼位分別為1,2,4,8。
2)冗餘碼A,B,C,D的線性碼位是：(相當於監督關係式)
A->1,3,5,7,9,11；
B->2,3,6,7,10,11；
C->4,5,6,7,12；(注 5=4+1；6=4+2；7=4+2+1；12=8+4)
D->8,9,10,11,12。
3)把線性碼位的值的偶校驗作為冗餘碼的值(設冗餘碼初值為0)：
A=∑(0,1,1,0,1,0)=1
B=∑(0,1,0,0,1,0)=0
C=∑(0,1,0,0,0) =1
D=∑(0,1,1,0,0) =0
4)海明碼為:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"
2)海明碼的接收。
例4.已知：接收的碼字為："1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0"(k=8)
求：傳送端的信息碼。
解：1)設錯誤累加器(err)初值=0
2)求出冗餘碼的偶校驗和，並按碼位累加到err中：
A=∑(1,0,1,0,1,0)=1 err=err+20=1
B=∑(0,0,0,0,1,0)=1 err=err+21=3
C=∑(1,1,0,0,0) =0 err=err+0 =3
D=∑(0,1,1,0,0) =0 err=err+0 =3
由err≠0可知接收碼字有錯，
3)碼字的錯誤位置就是錯誤累加器(err)的值3。
4)糾錯--對碼字的第3位值取反得正確碼字：
"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"
5)把位於2k位的冗餘碼刪除得信息碼："1 1 0 0 1 1 0 0"
