比例[數學術語]

比例（proportion）是一個數學術語，表示兩或多個比相等的式子。在一個比例中，兩個外項的積等於兩個內項的積，叫做比例的基本性質。

在數學中，如果一個變數的變化總是伴隨著另一個變數的變化，則兩個變數是成比例的，並且如果變化總是通過使用常數乘數相關聯，那么 常數稱為比例係數或比例常數。

基本信息

• 中文名：比例
• 英文名：proportion

• 比例基本性質：兩個外項的積等於兩個內項的積
• 解比例：求比例其中一個未知項
• 常數名稱：比例係數或比例常數
• 意 義：反映總體的構成或者結構

解釋

簡介

比例是一個總體中各個部分的數量占總體數量的比重，用於反映總體的構成或者結構。

比例分為比例尺和比例兩種.表示兩個比相等的式子叫做比例。判斷兩個比能不能組成比例，要看它們的比值是不是相等。組成比例的四個數，叫做比例的項。兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內項。在比例里，兩個外項的積等於兩個內項的積，這是 比例的基本性質。求比例其中一個未知項，叫做 解比例。

舉例說明

①表示兩個比值相等的式子叫做比例，如3:4=9:12、7:9=21:27

比例有四個項，分別是兩個內項和兩個外項；在7:9=21:27中，其中7與27叫做比例的外項，9與21叫做比例的內項。

②比如：教師和學生的～已經達到要求。

③比如：在所銷商品中，國貨的～比較大。

④比例寫成分數的形式後，那么，左邊的分母和右邊的分子是內項；左邊的分子和右邊的分母是外項。

⑤比例的基本性質：在一個比例中，兩個外項的積等於兩個內項的積。

正比例與反比例

正比例

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果兩種量中相對應的兩個數的比值(商)一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關係叫做正比例關係。如果用字母x和y表示兩種關聯的量，用k表示它們的比值，成正比例關係可以用下面式子表示：y/x=k（一定）

反比例

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果兩種量中相對應的兩個數的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關係叫做反比例關係。如果用字母x和y表示兩種關聯的量，用k表示它們的乘積，成反比例關係可以用下面式子表示：xy=k（一定）

反比例性的概念可以與直接相稱性進行對比。考慮兩個變數被認為是“相互成比例”的。如果所有其他變數保持不變，如果另一個變數增加，則一個反比例變數的幅度或絕對值減小，而其乘積（比例常數k）總是相同的。

如果每個變數與另一個變數的乘數相反（倒數）成正比，則兩個變數成反比（也稱為反向變化，反向變異，反比例），如果其乘積是一個常數。因此，如果存在非零常數k，則變數y與變數x成反比：

比例[數學術語]

比例[數學術語]

或等價於 。因此，常數是x和y的乘積。

例如，旅途所需的時間與旅行速度成反比；挖洞所需的時間（大概）與挖掘人數成反比。

反比例函式

在笛卡爾坐標平面上反向變化的兩個變數的曲線圖是矩形雙曲線。曲線上每個點的x和y值的乘積等於比例常數（k）。既然x和y都不能等於零（因為k是非零），所以圖形從不跨任一個軸。

如何判斷

在解決此類問題過程中要緊緊抓住正反比例的意義，一是看不是兩種相關聯的量，二看這兩個量之間的商一定還是積一定的。商一定，兩個量成正比例；積一定，兩個量成反比例。其次在解決實踐套用問題時要注意比和比例，以及它們和分數之間的關係。然後再綜合所學過的知識進行解答。

比與比例的區別

比表示兩個數相除（有兩項，前項和後項），比例表示兩個比相等的式子（有四項，兩個內項，兩個外項）。

解比例

比例分為比例尺和比例.表示兩個比相等的式子叫做比例。判斷兩個比能不能組成比例，要看它們的比值是不是相等。

在比例里，兩個外項的積等於兩個內項的積。已知比例中的任何三項，就可以求出這個比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫做 解比例。 解比例都是運用比例的基本性質來解的，因為兩外項的積等於兩內項的積，所以我們可以把兩個外項和內項互相乘起來，再來解這個方程。比如：x:3= 9:27

解法：

x:3=9:27

解：27x=3×9

27x=27

x=1

比例具有如下性質：

若a:b=c:d(b.d≠0)，則有

1） ad=bc （即 比例的基本性質：兩個外項的積等於兩個內項的積）

2） b:a=d:c （a.c≠0） （交換比較，結果仍然相等）

3） a:c=b:d ; c:a=d:b

4） (a+b):b=(c+d):d

5） a:(a+b)=c:(c+d) ( a+b≠0,c+d≠0)

6） (a-b):(a+b)=(c-d):(c+d) ( a+b≠0,c+d≠0)

證明過程如下

令 a:b=c:d=k，

∵a:b=c:d

∴a=bk；c=dk

1）∴ad=bk*d=kbd；bc=b*dk=kbd

∴ad=bc

2） 顯然b:a=d:c=1/k

3） a:c=bk:dk=b:d ;結合性質2有c:a=d:b

4） ∵a:b=c:d

∴(a/b)+1=(c/d)+1

∴(a+b)/b=(c+d)/d=1+k ；即 (a+b):b=(c+d):d

a+b≠0,c+d≠0時，結合性質2有b:(a+b)=d:(c+d)

比例[數學術語]

且 ……①

5） ∵b/(a+b)=d/(c+d)

∴1- b/(a+b)=1- d/(c+d)=1-1/（k+1）

∴a/(a+b)=c/(c+d)=k/k+1 ……②

即a:(a+b)=c:(c+d)

a+b≠0,c+d≠0時，結合性質2有 (a+b):a=(c+d):c

比例[數學術語]

6） ②-①，等式兩邊同時相減得

7) 做做此題：一個長方形，比為5：3，長方形的周長是80米，求它的長和寬。

（有意者，請做在後面。）

假設長方形長為5X，寬為3X，那么：

(5X+3X)*2=80

8X=40

X=5

長：5X=5*5=25（米） 寬：3X=5*3=15（米）

答：這個長方形的長是25米，寬是15米。

或：

比例[數學術語]

比例[數學術語]

兩個長： （米）

比例[數學術語]

兩個寬： （米）

比例[數學術語]

長： （米）

比例[數學術語]

寬： （米）

答：這個長方形的長是25米，寬是15米。

或：

比例[數學術語]

長： （米）

比例[數學術語]

寬： （米）

答：這個長方形的長是25米，寬是15米。