內容介紹
國際數學奧林匹克競賽簡介國際數學奧林匹克（International Mathematical
Olympiad，簡稱IMO）是世界上規模和影響最大的中學生數
學學科競賽活動。它由羅馬尼亞羅曼（Roman）教授發起，自
1959年在羅馬尼亞舉行第一屆競賽以來，除1980年停賽一
年外，每年一屆。最初幾屆只有七、八個國家參加，到第三十三
屆已發展到有五十六個之多的國家和地區參加。最初的組織
工作由幾個參賽國家輪流承擔，到了1980年，國際數學教育
委員會專門成立了IMO分會，負責尋求IMO每年的組織者。
IMO的試題不局限於中學數學的內容，它包含了所謂微
積分學前數學的基本部份，甚至也包含了部份微積分學的內
容。隨著年代的推移，試題難度也越來越大。試題的難度不在
於解決試題需要許多高深的知識，而在於對數學本質的洞察
力、創造力和數學機智。試題範圍雖然從來沒有正式劃定，但
主要為數論、組合數學、數列、不等式、函式方程和幾何等。在
不少屆的試題中，常出現包含當年年度數字的趣味數論問題，
顯示出數學家們的幽默風趣。有些題目給出比恰好推出所需
結論的條件寬許多的條件，而有些題目又只讓你推出很強結
論中的一少部分，與通常類型的由恰當條件推出恰當結論的
題目相比，這些題目的真正目的在於考你的靈活性、技巧性。
有些題目風格迥異，思維方式新穎，只有運用某一技巧才能解
決，對這樣的題目，通常的思維方式也就不可能引導出正確的
解題思路。有些題目的解法對我們的啟示，決不限於是一種針
對具體問題的具體技巧，而是一種精深的數學思維方式。
一般每屆競賽從各參賽國提供的預選題中選用六道題。
考試分兩天進行，每天四個半小時做三道題。參賽者獨立做
題，只對個人評分和獎勵，沒有團體獎。但習慣上人們也計各
隊總分，排列各參賽國名次（因各隊參賽人數一樣多）。
正如專家們指出：IMO的重大意義之一是促進創造性的
思維訓練，對於科學技術迅速發展的今天，這種訓練尤為重
要。數學不僅要教會學生運算技巧，更重要的是培養學生有嚴
密的思維邏輯，有靈活的分析和解決問題的方法。
國際數學奧林匹克競賽對於促進中學數學教育的改革，
激發青少年對數學的學習興趣，選拔優秀的數學人才等都起
到了越來越大的作用，受到人們的普遍重視。數學奧林匹克傳
統將永遠發揚光大。
本書即為奉獻給廣大有志於參與各種數學競賽的青少年
朋友們的一本課外參考書。
本書彙編了歷屆IMO競賽試題的題解。限於篇幅，每題
只從多種題解中精選了一種題解。一些較容易引導解題思路
的題解前給出了解題分析，個別題解後附有注釋，給題解以補
充說明。考慮到給循序漸進地學習本書的讀者以思考、分析題
解的機會，越到後來的題解越比較簡練，甚至略去一些細節證
明，給有興趣的學生以補充題解的餘地，使他們能更主動地學
習本書。
在正式題解前面，列出了本書中所採用的數學符號一覽
表，幫助讀者正確理解題解，也起到規範、界定數學符號的作
用。
考慮到有些IMO試題所涉及的內容超出了現行我國中
學數學教學的範圍，題解中出現的一些數學概念和定理還不
為廣大中學生所熟悉（特別是對於那些還未學完高中課程的
中學生來說更是如此），本書在題解前面也給出了稱作“預備
知識”的一部分由較深數學概念和定理組成的內容。理解題解
有困難的讀者在使用本書時可回過頭來參考一下預備知識，
以收到方便、省時的效果。當然，限於篇幅和程度各異，這一部
分內容不可能滿足每個讀者的要求，敬請原諒。
題解後，選編了部分IMO預選題供讀者獨立解答（不附
題解），以檢驗讀者的程度和IMO試題的差距。這部分題雖只
有60道，但覆蓋了IMO試題的所有範圍。獨立完成想必還是
要費一番思考的。
本書在編寫過程中參閱了眾多文獻、資料，恕不一一列
出，在此向這些資料的作者表示深深的謝意。
本書每年將修訂一次，增補上一年度的競賽試題及解答。
本書能對廣大中學生朋友的數學學習有所裨益，編者也
就感到快慰了。
編者
作品目錄
目錄一、國際數學奧林匹克競賽簡介
二、符號表
三、預備知識
四、歷屆競賽試題及題解
第一屆（1959年，羅馬尼亞）
第二屆（1960年，羅馬尼亞）
第三屆（1961年，匈牙利）
第四屆（1962年，原捷克斯洛伐克）
第五屆（1963年，波蘭）
第六屆（1964年，原蘇聯）
第七屆（1965年，原民主德國）
第八屆（1966年，保加利亞）
第九屆（1967年，原南斯拉夫）
第十屆（1968年，原蘇聯）
第十一屆（1969年，羅馬尼亞）
第十二屆（1970年，匈牙利）
第十三屆（1971年，原捷克斯洛伐克）
第十四屆（1972年，波蘭）
第十五屆（1973年，原蘇聯）
第十六屆（1974年，原民主德國）
第十七屆（1975年，保加利亞）
第十八屆（1976年，奧地利）
第十九屆（1977年，原南斯拉夫）
第二十屆（1978年，羅馬尼亞）
第二十一屆（1979年，英國）
第二十二屆（1981年，美國）
第二十三屆（1982年，匈牙利）
第二十四屆（1983年，法國）
第二十五屆（1984年，原捷克斯洛伐克）
第二十六屆（1985年，芬蘭）
第二十七屆（1986年，波蘭）
第二十八屆（1987年，古巴）
第二十九屆（1988年，澳大利亞）
第三十屆（1989年，原聯邦德國）
第三十一屆（1990年，中國）
第三十二屆（1991年，瑞典）
各國和地區提供的部分競賽預選題
第三十三屆（1992年，俄羅斯）
第三十四屆（1993年，土耳其）
第三十五屆（1994年，香港）
第三十六屆（1995年，加拿大）
第三十七屆
第三十八屆
第三十九屆
