簡介
模糊集是模糊數學上的一個基本概念，是數學上普通集合的擴展。用來表達模糊性概念的集合。在模糊理論中有如下定義：
1. 設Ã為一模糊集 ， 記
Ã1={x∈A:}， 0≤α≤1
Ã0={x∈A:}， 0≤α≤1
稱Ã1和Ã0分別為模糊集Ã的α-截集和α-強截集。特別地，稱Ã0為Ã的支集，記作supp Ã，其中Ã0中的元素叫Ã做的支點。
2. 設Ã為一模糊集稱N(Ã)為的最近尋常集其特徵函式定義為
模糊性指數
模糊性指數
模糊性指數設Ã為一具有 個支點的模糊集，若記
模糊性指數
模糊性指數（Ã）=(2/ ).d(Ã,N(Å)
模糊性指數
模糊性指數
模糊性指數則稱 (Ã)為模糊集Ã的 模糊性指數。其中d(Ã，N(Ã ))表示模糊集與其最近尋常集N(Ã )的距離。距離函式的類型並不是唯一的，這裡P的值便用來反應距離函式d。通常情況下，當p=1 時距離函式d是指廣義Hamming 距離，此時υ1(Ã)稱為Ã的線性模糊性指數 ，記作υ1(Ã)。 而P=0.5當時距離函式d是指Euclidean距離，此時 （Ã）稱為Ã的二次模糊性指數，記作 （Ã）。
模糊性與模糊集
模糊性
模糊性是指事物類屬的不分明性。在美國數學家扎德(Zadeh，L.A.)提出模糊理論之前，系統科學的研究對象具有或不具有某種屬性，明確肯定，毫不含糊，從而在數學上，元素x屬於集合A或不屬於集合A，非此即彼.但日常生活中，新與舊、老與少、高與矮、大與小等大量概念所反映的對象屬性沒有明確的界限，事物的分類常依場合或人的主觀感覺不同而變化.在複雜工程問題中，誤差大小、回響快慢、品質高低、決策優劣等也都難以給出精確的判別，通常只能加以定性的區分和處理。這種現象反映在數學上，必須承認不同元素可以按不同程度屬於某集合或不屬於某集合。總之，模糊性的數學描述是人類對事物認識和描述的一種飛躍。
模糊性是工程實際結構中存在的另外一種不確定性。模糊性是指事物本身的概念不清楚，本質上沒有確切的定義，在量上沒有確定界限的一種客觀屬性，研究和處理模糊性的數學方法主要是模糊數學。在工程實際結構中，模糊性主要表現為：設計目標和約束條件的模糊性、載荷與環境因素的模糊性以及設計準則的模糊性。模糊性廣泛存在於結構的材料特性、幾何特徵、載荷及邊界條件等方面。
模糊集
模糊數學，亦稱弗晰數學或模糊性數學。1965年以後，在模糊集合、模糊邏輯的基礎上發展起來的模糊拓撲、模糊測度論等數學領域的統稱。是研究現實世界中許多界限不分明甚至是很模糊的問題的數學工具。在模式識別、人工智慧等方面有廣泛的套用。
定義
設A是集合X到[0，1]的一個映射，A：X→[0，1]，x→A(x) 則稱X是A上的模糊集，A(x)稱為模糊集A的隸屬函式，或稱A(x)為x對模糊集A的隸屬度。
表示
模糊集的常用表示法有下述幾種：
解析法，也即給出隸屬函式的具體表達式。
模糊性指數Zadeh 記法，例如A= ，分母是論域中的元素，分子是該元素對應的隸屬度。有時候，若隸屬度為0，該項可以忽略不寫。
模糊性指數序偶法，例如 A= ，序偶對的前者是論域中的元素，後者是該元素對應的隸屬度。
向量法，在有限論域的場合，給論域中元素規定一個表達的順序，那么可以將上述序偶法簡寫為隸屬度的向量式，如 A = (1,0.5,0.72,0) 。
模糊度
一個模糊集 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一個直觀的定義是這樣的：
設映射 D : F(U) → [0,1] 滿足下述5條性質：
清晰性：D(A) = 0 若且唯若 A ∈ P(U)。（經典集的模糊度恆為0。）
模糊性：D(A) = 1 若且唯若 ∀ u ∈ U 有 A(u) = 0.5。（隸屬度都為0.5的模糊集最模糊。）
單調性：∀ u ∈ U，若 A(u) ≤ B(u) ≤ 0.5，或者 A(u) ≥ B(u) ≥ 0.5，則 D(A) ≤ D(B)。
對稱性：∀ A ∈ F(U)，有 D(Ac) = D(A)。（補集的模糊度相等。）
可加性：D(A∪B) + D(A∩B)=D(A) + D(B)。
則稱 D 是定義在 F(U) 上的模糊度函式，而 D(A) 為模糊集 A 的模糊度。
套用
客觀事物之間的界限具有模糊性，是模糊聚類分析產生並被廣泛使用的主要原因。 模糊聚類是一種無監督的學習過程，多數聚類算法需要輸入參數且這些參數對聚類結果的影響比較大。 得到聚類結果後, 則需要分析聚類的結果是否合理, 這屬於聚類有效性研究的課題。 廣義上講, 聚類有效性評價包括聚類質量的度量、聚類算法適合某種特殊數據集的程度以及某種劃分的最佳聚類數目。現有的模糊聚類有效性函式大致可以分為基於數據集模糊劃分和
基於數據集幾何結構兩類。基於數據集模糊劃分的方法簡單, 運算量小, 但是與數據集的結構特徵缺乏直接的聯繫。 基於數據集幾何結構的方法與數據結構密切相關，但是表述複雜， 運算量大 。對模糊聚類來說, 有效性問題又往往可以轉化為最佳類別數c的決策問題。
