極大極小原理

根據極大極小原理所要求的條件，可以分為拓撲線性空間的極大極小原理，拓撲極大極小原理，數量極大極小原理，拓撲數量極大極小原理等等。根據極大極小原理的形式，又可分為單函式極大極小原理，雙函式或多函式極大極小原理，賦予微分結構的極大極小原理等等 。極大極小（minimax）是一類重要的不可微最佳化問題，不僅在工程設計、對策論等領域套用廣泛，而且與非線性方程組、非線性規劃、多目標規劃等數學問題之間密切相關。

極大極小原理：

X是一個集合，Y是緊拓撲空間。f是X×Y到R的函式且在Y上下半連續。如果

（1）f在X上是向下的；

（2）對於X的任意有限子集和任意r∈R，Y（A，f≤r）在Y內或者連通或者為空集，

那么f*=f 。

單函式的極大極小原理：

設 兩個非空集X和Y，f是X×Y到R的函式。單函式的極大極大原理就是在一定條件下，以下不等式成立：

極大極小原理

一般來說，單函式的極大極小定理的條件是由函式f關於一個變數的凸性，關於另一個變數的凹性，再加上集合X,Y和函式f的一些拓撲條件所構成 。

極大極小問題:

極大極小原理

極大極小原理

極大極小原理

極大極小原理

對n個數

滿足，對任意的，記，，則：

極大極小原理

極大極小原理

（1）當時，

極大極小原理

極大極小原理

極大極小原理

極大極小原理

（2）當，時，p達到最優值Popt，這裡,。